在确定了杆件的内力后,还不能判断该杆件在外力作用下是否因强度不足而被破坏。而要判断杆件是否会因强度不足而被破坏,必须知道分布内力的强弱程度及材料抵抗破坏的能力。杆件横截面上分布内力的强弱程度通常用其集度来度量,称之为应力,本章将讨论杆件在基本变形下的应力计算以及强度条件。另外,在设计构件时,必须考虑合理选用材料的问题。不同的材料具有不同的力学性能,即具有不同的抵抗破坏和变形的能力。要了解某种材料的力学性能,就必须通过试验,对这种材料进行有关的测试。其中,常温、静载条件下的拉伸试验是所有这些试验中最主要、最基本的一种。本章主要介绍常用材料在拉伸或压缩时的力学性能,为以后对构件进行强度、刚度和稳定性计算提供必要的基础。
3.1.1应力的概念
前面我们确定了拉(压)杆的轴力,但不能说明分布内力系在截面内某一点处的强弱程度。为此,我们引入内力集度的概念。
图3.1
程度。为此,我们引入内力集度的概念。
现研究受力构件m
ΔA
ΔA
ΔF
ΔA
dA
在我国法定计量单位中,应力的单位是Pa(帕),称为帕斯卡,1Pa=1N/m2 。工程中通常使用MPa,其值为1MPa=106 Pa。3.1.2轴向拉(压)杆横截面上的应力
只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度。例如用同一材料制成粗细不同的两根杆在相同的拉力下,两杆的轴力自然是相同的。但当拉力逐渐增大时,细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力的大小有关,而且与横截面面积有关。所以还必须研究横截面上的应力。
由于轴力F
仅由式(3.2)还不能确定应力σ
图3.2
如图3.2(a)所示的等直杆,拉伸变形前,在其侧面上作垂直于杆轴的直线ab
由于假设材料是均匀的(均匀性假设),即各纵向纤维力学性质相同,可以推知各纵向纤维正应力σ都相等 ,即正应力均匀分布于横截面上
各纵向纤维力学性质相同,可以推知各纵向纤维受力是相同的。所以横截面上各点处的正应力σ都相等 ,即正应力均匀分布于横截面上[图3.2(c)、(d)],σ
式(3.3)就是拉杆横截面上正应力σ
使用式(3.3)时,要求外力的合力作用线与杆轴线重合。若轴力沿轴线变化,可先作出轴力图,再由式(3.3)求出不同横截面下的应力。当截面的尺寸也沿轴线变化时(图3.3),只要变化缓慢,外力合力与轴线重合,式(3.3)仍可使用。这时把它写成
应该指出,式(3.3)只有在杆上离外力作用点稍远处才成立,在外力作用点附近区域内的应力分布比较复杂。这是因为在杆端截面上外力作用方式不同,对截面上的应力有影响。例如在杆端以均匀分布的方式加载[图3.4(a)],式(3.3)对任何截面都适用;若采用集中力或其他非均匀的加载方式时[图3.4(b)、(c)],虽然外力合力的作用线仍与杆轴重合,但在外力作用点附近区域的应力分布较复杂,式(3.3)不再适用。实验研究表明:力作用于杆端方式的不同,只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响,这就是圣维南(Saint-Venant)原理。根据这一原理,在离外力作用区域稍远处,上述影响就非常微小,可以忽略不计,直接按式(3.3)计算拉(压)杆横截面上的应力。
图3.3
图3.4
图3.5
图3.3
【例3.1】一横截面为正方形的砖柱分上、下两段,其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图3.5(a)所示。已知F
解:首先作柱的轴力图,如图3.5(b)所示。
由于砖柱为变截面杆,故须利用式(3.3)求出每段柱的横截面上的正应力,从而确定全柱的最大工作应力。
Ⅰ、Ⅱ两段柱横截面上的正应力 ,分别由轴力图及横截面尺寸求得:
0.24m()×0.24m()=-0.87×106 Pa=-0.87MPa(压应力)
0.37m()×0.37m()=-1.1×106 Pa=-1.1MPa(压应力)
由上述结果可见,砖柱的最大工作应力在柱的下段,其值为1.1MPa,是压应力。
【例3.2】长为b
图3.6
解:薄壁圆环在内压力作用下要均匀胀大,故在包含圆环轴线的任何径向截面上,作用有相同的法向拉力F
pb
2dφ
sinφ
2∫π
0sinφ
因壁厚远小于内径d
2=
于是横截面上的正应力σ
2bδ
2δ
2×5×10-3 m()=40×106 Pa=40MPa3.1.3轴向拉(压)杆斜截面上的应力
前面分析了拉(压)杆横截面上的正应力。实验表明,拉(压)杆的破坏并不总是沿横截面发生,有时是沿斜截面发生破坏的。为此,需进一步讨论斜截面的应力。
现讨论与横截面α
cosα
若沿斜截面k
仿照证明横截面上正应力均匀分布的方法,可知斜截面上的应力也是均匀分布的。于是得
将p
2sin2α
可见,σ
当α
当α
2, τ
2。即轴向拉(压)杆在 45°斜截面上切应力最大 。
当α
对于脆性材料制成的构件,在拉力作用下当变形很小时就会突然断裂。塑性材料制成的构件,在拉断之前先已出现明显塑性变形,由于不能保持原有的形状和尺寸。它已不能正常工作。可以把断裂和出现明显塑性变形统称为破坏或失效。上述这些破坏现象都是强度不足造成的,因此,下面主要讨论轴向拉(压)杆的强度问题。
图3.7
度不足造成的,因此,下面主要讨论轴向拉(压)杆的强度问题。
1.极限应力、许用应力
对于塑性材料,应力达到屈服极限σ
为了保证构件有足够的强度,在荷载作用下其工作应力应低于极限应力。在强度计算中,把极限应力除以一个大于1的系数 n
对塑性材料
[σ
对脆性材料
[σ
安全因数实质上包括两方面的考虑:一方面是在强度计算中有些量本身就存在着主观认识与客观实际间的差异,如材料的均匀程度、构件实际截面尺寸与设计尺寸的偏差、实际结构与计算简图的差异、设计荷载与实际工作荷载的偏差等;另一方面是给予构件以必要的安全储备,如考虑构件在使用期间内可能遇到意外事故和其他不利工作条件等。可见确定安全因数时,要综合考虑多方面的影响。
2.强度条件
为了保证拉(压)杆能安全可靠地正常工作,必须使构件的最大工作应力不超过材料的许用应力[σ
对于等截面直杆,拉伸(压缩)时的强度条件可写为
根据以上强度条件,可以解决下列三类的强度计算问题:
(1)强度校核。已知荷载、杆件尺寸及材料的许用应力,利用式(3.10)校核杆件是否满足强度要求。
(2)设计截面。已知荷载及材料的许用应力,确定杆件所需的最小横截面面积。由式(3.10),可得
(3)确定许用荷载。已知杆件的横截面面积及材料的许用应力,确定许用荷载。先由式(3.9)确定最大许用轴力
图3.8
许用荷载。
【例3.3】三铰屋架的主要尺寸如图3.8(a)所示,竖向均布荷载沿水平方向的集度q
屋架中的钢拉杆直径d
解:(1)作计算简图。由于两屋面板之间和拉杆与屋面板之间的接头难以阻止微小的相对转动,故可将接头看作铰接,于是得屋架的计算简图如图3.8(b)所示。
(2)求支反力。从屋架整体[图3.8(b)]的平衡方程∑F
为了简便,可利用对称关系得
24.2×103 N/m()×9.3m()=19.5×103 N=19.5kN
(3)求拉杆的轴力F
(1.42m)×F
2×q
将q
(4)求拉杆横截面上的工作应力σ
416×10-3 m()2=131×106 Pa=131MPa
(5)强度校核。
因为
满足强度条件,故钢拉杆的强度是安全的。
【例3.4】钢木组合桁架的尺寸及计算简图如图3.9(a)所示。已知F
图3.9
解:首先求拉杆DI
2=16
2kN=8kN
为了满足强度条件,拉杆DI
120×106 Pa=0.667×10-4 m2
由此得该杆所必须具有的直径为
π=4
π0.667×10-4 m2 ()=0.92×10-2 m=9.2mm
由于用作钢拉杆的圆钢的最小直径为10mm,故选用
【例3.5】简易起重设备[图3.10(a)]中,杆AC
图3.10
解:(1)确定杆AC
∑F
∑F
解得
(2)计算各杆的许可轴力。由型钢表
(2)计算各杆的许可轴力。由型钢表查得
杆AC
杆AB
根据强度条件
将A
[F
[F
(3)将[F
[F
2=369.24kN
2=184.6kN
[F
1.732=486.20kN
1.732=280.7kN
取F
等截面直杆受轴向拉伸或压缩时,横截面上的应力是均匀分布的。但在工程实际中,由于结构和工艺上的要求,经常会碰到一些截面尺寸发生突然变化的杆件,例如具有螺栓孔的钢板、带有螺纹的拉杆等。实验结果和理论分析表明,在杆件尺寸突然改变处的截面上,应力并不是均匀分布的。例如开有小圆孔或切口的板条[图3.11(a)、(b)],受轴向拉伸时,在圆孔或切口附近的局部区域内,应力将剧烈增加,但在离开圆孔或切口稍远处应力就迅速降低且趋于均匀。这种因杆件外形突然变化,而引起局部应力急剧增大的现象,称为应力集中。
工程实际中,应力集中的程度用发生应力集中截面上的最大应力σ
图3.11
因此,在构件上应尽可能地避免带尖角的孔和槽。
各种材料对应力集中的敏感程度并不相同。塑性材料制成的杆件受静载作用时,由于塑性材料有屈服阶段。当局部的最大应力达到屈服极限时,若荷载继续增加,则应力不增加,应变可继续增加,而所增加的荷载将由尚未屈服的材料来承担,如图3.11(c)所示,直至整个截面上各点处的应力都达到屈服极限时,构件才因屈服而丧失正常工作能力。因此,用塑性材料制成的杆件在静载作用下可以不考虑应力集中的影响。对于脆性材料或塑性较差的材料制成的杆件,当局部的最大应力σ
分析构件的强度时,除计算应力外还应了解材料的力学性能。材料的力学性能也称为机械性质,是指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。材料的力学性能要通过试验来测定。在室温下,以缓慢平稳的加载方式进行试验,称为常温静载试验,是测定材料力学性能的基本试验。下面主要介绍工程中常用材料在拉伸和压缩时的力学性能。3.2.1低碳钢拉伸时的力学性能
为了便于比较不同材料的试验结果,拉伸试样必须按国家标准《金属拉伸试验试样》(GB/T6397—1986)制作成标准试样。在试样上取长为l
图3.12
低碳钢是工程上使用最广泛的材料,同时,低碳钢试样在拉伸试验中所表现出的力学性能也最为典型。
试验时,将试件两端安装在万能试验机的上、下夹头中,然后开动试验机缓慢加载,使它产生
下夹头中,然后开动试验机缓慢加载,使它产生伸长变形,直至最后拉断。拉力F
图3.13
图3.14
拉伸图中F
根据材料的σ
1.弹性阶段
在拉伸初始阶段,σ
超过比例极限后,从a
在应力大于弹性极限后,变形将进入弹塑性阶段。如再解除拉力,试样变形的一部分随之消失,就是上面提到的弹性变形。但还遗留下一部分不能消失的变形,这种变形称为塑性变形或残余变形。
变形或残余变形。
2.屈服阶段
当应力超过b
当应力超过b
当材料进入屈服阶段时,若试件表面经过抛光,则可观察到一些与试件轴线约成45°倾角的条纹,如图3.15所示 。这是由于材料内部晶格之间发生相对滑移而形成的,称为滑移线。因为拉伸时在与轴线成45°斜截面 ,切应力为最大值。可见屈服现象的出现与最大切应力有关。
图3.15
大切应力有关。
材料屈服时将出现显著的塑性变形,对工程构件,一般说来这是不允许的。所以σ
3.强化阶段
试样经过屈服阶段后,材料抵抗变形的能力有所恢复,要使它继续变形须增加拉力。表现为曲线自c
图3.16
材料强度的另一重要指标。
4.局部变形阶段
当应力到达最大值σ
致使试件继续变形的拉力F
试件拉断后,其变形中的弹性变形消失,仅留下塑性变形,标距的长度由原来的l
工程上通常按延伸率的大小把材料分成两大类:δ
以A
在试验过程中,如把试样拉到超过屈服极限的d
卸载后,如在短期内再次加载则应力和应变大致上沿卸载时的斜直线dd＇
工程上经常利用冷作硬化来提高材料的弹性阶段。如起重用的钢索和建筑用的钢筋常用冷拔工艺以提高强度。3.2.2其他材料拉伸时的力学性能
1.其他塑性材料拉伸时的力学性能
除低碳钢外,工程上常用的塑性材料,还有中碳钢、高碳钢和合金钢、铝合金、青铜、黄铜等。图3.17给出了锰钢 、强铝、退火球墨铸铁三种金属材料的应力-应变曲线 。
图3.17
、强铝、退火球墨铸铁三种金属材料的应力-应变曲线 。
将它们与低碳钢的应力—应变曲线(图3.14)比较,可以看出:有些材料例如铝合金和退火球墨铸铁没有屈服阶段,而其他三个阶段却很明显;另外一些材料例如锰钢则仅有弹性阶段和强化阶段,而没有屈服阶段和局部变形阶段。
对于没有明显屈服阶段的塑性材料,通常以产生0.2%塑性应变时的应力 ,作为屈服极限,并称为名义屈服极限,以σ
2.铸铁拉伸时的力学性质
灰口铸铁拉伸时的应力—应变关系是一段微弯曲线,如图3.19所示 。它没有明显的直线部分,没有屈服和颈缩现象。在较小的应力时铸铁就会被拉断,拉断前的变形很小,延伸率也很小。灰口铸铁是典型的脆性材料。
由于铸铁的σ
由于铸铁的σ
铸铁拉断时的最大应力即为其强度极限。因为没有屈服现象,强度极限σ
图3.18
图3.19
3.2.3材料压缩时的力学性能
金属材料压缩试样,一般做成短圆柱体,以免被压弯。试样高度一般为直径的1.5~3倍 。混凝土、石料等则制成立方体的试块。
低碳钢压缩时的应力—应变曲线如图3.20所示 。试验结果表明,低碳钢压缩时的弹性模量E
图3.20
图3.21
脆性材料在压缩时的力学性能与拉伸时有较大的差别。图3.21为铸铁压缩时的 σ
图3.22(a)是混凝土压缩时的σ
图3.22
混凝土的拉伸强度很小,约为压缩强度的1/20~1/5,故在用作弯曲构件时,其受拉部分一般用钢筋来加强(称为钢筋混凝土),在计算时就不考虑混凝土的拉伸强度。
所以,脆性材料宜于作为抗压构件的材料,其压缩试验也比拉伸试验更为重要。
表3.1中列出了几种常用材料在常温 、静载下的主要力学性能。
表3.1常用材料的主要力学性能
3.2.4影响材料力学性能的因素
前面讨论了材料在常温、静载下的力学性能。虽然大多数工程结构或构件是在常温下工作的,但也有些构件或零件,例如汽轮机的叶片,长期在高温中运转;又如液态氢或液态氮的容器,则在低温下工作。试验表明,材料在高温和低温下的力学性能与常温下并不相同,且往往与作用时间的长短有关。另外,加载速率对材料力学性能也有较大影响。
1.短期静载下,温度对材料力学性能的影响
图3.23
1.短期静载下,温度对材料力学性能的影响
金属材料在高温下使用时,其力学性能会随温度的改变而变化。图3.23为低碳钢在
金属材料在高温下使用时,其力学性能会随温度高温短期静载下拉伸时,其力学性能σ
在低温情况下低碳钢的弹性极限和强度极限都有所提高,但伸长率则相应降低。这表明在低温下,碳钢倾向于变脆。
2.高温、长期荷载作用下材料的力学性能
材料在高温下,长期作用荷载将影响材料的力学性能。试验结果表明,如低于一定温度(例如对碳素钢来说,温度在300~350℃以下 )虽长期作用载荷,材料的力学性能并无明显的变化。但如高于一定温度且应力超过某一限度,则材料在这恒定应力和不变温度下,随着时间的增长,变形将缓慢加大,这种现象度下,随着时间的增长,变形将缓慢加大,这种现象称为蠕变。蠕变变形是塑性变形,卸载后不再消失。在高温下工作的零件,往往因蠕变而引起事故。例如汽轮机的叶片可能因蠕变发生过大的塑性变形,以致与轮壳相碰而打碎。图3.24中的曲线是金属材料在不变温度和固定应力下 ,蠕变变形ε
近于常量,称为稳定阶段。CD
图3.24
阶段的蠕变应变速率。
不同的材料在不同的温度和荷载条件下,其蠕变曲线是不同的。同一种材料在相同的温度下,其蠕变曲线将随着应力的高低而改变[图3.25(a)];应力越大,蠕变速率就越大,越容易发生蠕变断裂。若应力维持不变,则蠕变曲线将随着温度的高低而不同;温度越高,蠕变速率就越大;温度降低,蠕变速率也随之减小;到一定的温度时,蠕变速率甚至可降至零[图3.25(b)]。由以上讨论可见,温度和应力水平是决定蠕变速率的两个主要因素。
图3.25
高温下工作的构件,在恒定的荷载条件下,构件在发生弹性变形后,如保持其变形总量不变,则材料随着时间的增长,因蠕变而逐渐发展的塑性变形将逐步地代替原来的弹性变形,从而使构件内的应力随时间的增长而逐渐降低。这种现象称为应力松弛,简称松弛。例如汽轮机转子与轴的紧密配合可能因松弛而松脱。在预应力钢筋混凝土构件中,若使用预应力钢丝束,即使在常温条件下也可能发生预应力松弛的现象。对上述工程问题进行计算时,必须了解材料在高温(常温)下长期荷载作用时的力学性能。
3.应变速率及应力速率对材料力学性能的影响
图3.26
应变速率和低碳钢强度之间的关系曲线[图3.26(a)]表明:应变速率较低时,低碳钢的屈服极限σ
从以上介绍各种材料的试验结果可以看出,塑性材料和脆性材料的力学性能有很大差异,归纳起来其主要区别如下:
(1)塑性材料断裂时延伸率大,塑性性能好;脆性材料断裂时延伸率很小,塑性性能很差。所以用脆性材料做成的构件,其断裂破坏总是突然发生的,破坏前无征兆;而塑性材料通常是在显著的形状改变后才破坏。
(2)多数塑性材料在拉伸和压缩变形时,其弹性模量及屈服极限基本一致,亦即其抗拉和抗压的性能基本相同,所以应用范围广;多数脆性材料抗压能力远大于抗拉能力,所以宜用制作受压构件。
(3)塑性材料制成的构件对应力集中的敏感性较小,可以不考虑应力集中的影响;而脆性材料制成的构件,一般须考虑应力集中的影响。
必须指出的是,影响材料力学性能的因素是多方面的,材料的塑性与脆性是相对的。如低碳钢在常温下表现为塑性,但在低温下表现为脆性;石料通常认为是脆性材料,但在多向受压状态下,却表现出一定的塑性性能。
在讨论扭转的应力之前,为了研究切应力和切应变的规律以及两者间的关系,先考察薄壁圆筒的扭转。3.3.1薄壁圆筒的扭转
对于壁厚t
10)的圆筒,称为薄壁圆筒。取一薄 壁圆筒,受扭前在其表面画上等间距的圆周线和纵向线,形成一些矩形网格,如图3.27(a)所示。在圆筒的两端面上施加外力偶,使其产生扭转变形。当外力偶矩M
(1)圆周线的形状、大小、间距均未改变,只是彼此绕轴线发生相对转动。
(2)纵向线都倾斜了相同微小角度γ
根据以上的变形现象,可以得出下面的推论和假设:
(1)由于圆周线形状、大小不变,说明代表横截面的圆周线仍为平面。因此可以假设,薄壁圆筒扭转时,变形前为平面的横截面变形后仍保持平面。这一假设,称为平面假设。
(2)由于圆周线间距不变,且其形状、大小不变,可以推断:横截面和纵向截面上没有正应力。
(3)由于圆周线仅绕轴线相对转动,且使纵向线有相同的倾角,说明横截面上有切应力,且同一圆周上各点的切应力相等。由于筒壁厚度t
图3.27
均匀分布。
(4)由于矩形网格的直角改变量———切应变γ
综上所述,薄壁圆筒扭转时,横截面上将产生切应力,且切应力在截面上均匀分布,其方向与圆周相切,如图3.27(c)所示。
设薄壁圆筒的任一横截面上的扭矩为T
∫A
2πr
2πr
0t
式(3.16)就是薄壁圆筒扭转时横截面上切应力τ
1.切应力互等定理
在受扭薄壁圆筒中,用相邻的两个横截面和两个纵向面,从圆筒中取出边长分别为dx
(τ＇t
τ＇
图3.28
图3.29
学中的一个重要定理。它具有普遍意义,在同时有正应力的情况下同样成立。
2.剪切胡克定律
在上述单元体的上、下、左、右四个侧面上,只有切应力而无正应力,单元体的这种受力状态称为纯剪切应力状态。在纯剪切应力状态下,单元体的两对侧面将发生微小的相对错动,使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量γ,如图3.27(e)所示。从图3.27(b)可以看出,γ
由式(3.20)可知,对于各向同性材料,在三个弹性常量中,只要用试验求得其中两个值,则另一个即可确定。3.3.3圆轴扭转时的应力和强度条件
1.圆轴扭转时横截面上的应力
与薄壁圆筒相仿,在小变形条件下,实心圆轴扭转时横截面上也只有切应力。为了求得圆轴扭转时横截面上的切应力及分布规律,必须从几何、物理、静力学三个方面综合考虑来求解。
(1)几何方面。为了观察圆轴的扭转变形,与薄壁圆筒受扭一样,在圆轴表面画上一些圆周线和纵向线,如图3.30(a)所示。在圆轴的受扭后可观察到与薄壁圆筒受扭时相同的变形现象,即:圆周线的形状、大小及间距均没有改变,只是各圆周线绕轴线相对旋转了一个角度;纵向线都倾斜了相同角度γ
图3.30
根据上述变形现象,得出如下基本假设:圆轴扭转变形前原为平面的横截面,变形后仍保持平面,其形状和大小不变,且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设,圆轴扭转时,其横截面就像刚性平面一样,绕轴线旋转了一个角度。
如图3.30(b)所示,从圆轴中截取长为dx
DD＇
dx
根据变形后横截面仍为平面,半径仍为直线的假设,用相同的方法,可以求得距圆心为ρ
dx
dx
dx
(2)物理方面。以τ
将式(3.22)代入上式得
dx
dx
(3)静力学方面。横截面上切应力变化规律表达式中的dφ
图3.31
是可得
将式(3.23)代入式(3.24),并注意到在给定的截面上,dφ
dx
dx
dx
上式中的积分∫A
dφ
dx
GI
dx
将式(3.27)代入式(3.23),得
应力在横截面上是沿径向呈线性分布的,如图3.32(b)所示。最大剪应力τ
图3.32
系数成反比。
以上切应力计算公式是以平面假设为基础导出的。试验结果表明,只有对等截面圆轴,平面假设是正确的。又由于导出以上诸式时使用了胡克定律。因此,这些公式适用于在线弹性范围内的等直圆杆。对于圆截面沿轴线变化缓慢的小锥度锥形杆,也可近似地采用以上公式计算。
由式(3.28)可知,实心圆轴扭转时,在靠近杆轴线处,切应力很小,使该处材料的强度不能得到充分利用。如果将圆轴中心部分材料移到周边处,就可充分发挥材料的作用。因而在工程中常采用空心圆截面杆。
图3.33
图3.33
由于圆轴扭转时的平面假设同样适用于空心圆轴,因此,前面得出的公式也适用于空心圆截面杆。空心圆轴扭转时的剪应力计算仍可采用式(3.28)和式(3.31)。只是式中的I
导出式(3.27)和式(3.31)时,曾引进了截面极惯性矩I
图3.34
们是与截面形状、尺寸有关的量。
对于实心圆截面,如图3.34(a)所示,在圆截面上距圆心为ρ
32
(3.32)
将上式代入式(3.30),则得实心圆截面的抗扭截面系数为
16( 3.33)
对于空心圆截面,设其内外径分别为d
22πρ
32
=πD
321-
[]=πD
321-α
空心圆截面的抗扭截面系数为
16( 1-α
图3.35
【例3.6】图3.35(a)所示阶梯状圆轴,AB
解:(1)求各截面的扭矩,并绘制扭矩图。用截面法求得AB
作出该轴扭矩图如图3.35(b)所示。
(2)计算最大切应力。由扭矩图可知,AB
AB
160.12m()3=64.84×106 Pa=64.84MPa
BC
160.1m()3=71.3×106 Pa=71.3MPa
比较上述计算结果,该轴最大剪应力位于BC
2.圆轴扭转时斜截面上的应力
前面我们讨论了圆轴扭转时横截面上的应力,已知横截面上周边各点处的切应力最大,为了全面了解杆内的应力情况,进一步讨论这些点处斜截面上的应力。为此,同前面一样在圆轴表面处截取一微小的单元体[图3.36(a)],由前面的分析可知,该单元体处于纯剪切应力状态,即单元体前、后两侧面上无任何应力,左、右两侧面只有切应力τ
图3.36
现分析在单元体内垂直于前后两平面的任一斜截面ef
∑F
∑F
由式(3.37)可知,单元体的四个侧面(分别为α
由式(3.36)可知,在α
在圆轴的扭转试验中,对于剪切强度低于拉伸强度的材料(例如低碳钢),破坏是从圆轴的最外层沿横截面发生剪断产生的[图3.37(a)],而对于拉伸强度低于剪切强度的3.37(a)],而对于拉伸强度低于剪切强度的材料(例如铸铁),其破坏是由圆轴的最外层沿与杆轴线约成45°倾角的螺旋形曲面发生 拉断产生的[图3.37(b)]。
图3.37
拉断产生的[图3.37(b)]。
3.圆轴扭转时的强度条件
圆轴受扭时,杆内各点均处于纯剪切应力状态。为了保证受扭圆轴能正常工作,不会因强度不足而破坏,应使圆轴内的最大工作切应力τ
由于等直圆轴的最大工作应力τ
的极值。上式中,[τ
图3.38
【例3.7】汽车传动轴简图如图3.38所 示,转动时输入的力偶m
用单位扭转角[φ＇
解:(1)计算扭矩。由截面法可求得圆轴横截面上的扭矩为
(2)计算轴的抗扭截面模量和极惯性矩。
161-
[]=π×0.093
161-84
90
[]=34.52×10-6 m3
2=34.52×10-6 ×1
2×90×10-3 =155.3×10-8 m4
(3)校核轴的强度和刚度。轴的最大切应力为
34.52×10-6 m3 =46.35×106 Pa=46.35MPa<[τ
故轴满足强度条件。
轴的最大单位长度扭转角为
φ＇
GI
(80×109 Pa)(155.3×10-8 m4 )=0.01288rad/m<[φ＇
故轴满足刚度条件。
(4)确定改为实心轴的直径,并比较两轴用料。根据题意,实心轴的强度应和空心轴强度相同,故实心轴的最大切应力也应为45.5MPa,即
πD＇
16
=45.5MPa所以,改为实心轴的直径为
D＇
31.6×103 N·m
16×45.5×106 Pa
=0.056m=56mm在两轴长度相等,材料相同的情况下,两轴重量之比又等于横截面面积之比。
空心轴的面积为
4( D
4×902 -842 ()=819.96mm2
实心轴的面积为
A＇
4×562 =2461.785mm2 因此,两轴重量比为
A＇
2461.78=33.29%
由此可见,在强度相同的情况下,空心圆轴的自重比实心圆轴轻,即空心圆轴比实心圆轴省材料。
【例3.8】实心圆轴如图3.39(a)所示。已知该轴转速n
图3.39
强度条件设计此轴的直径。
解:(1)首先计算外力偶矩。根据外力偶矩的计算公式(见第二章),求得
300=318(N·m)
300=382(N·m)
300=1273(N·m)
300=573(N·m)
(2)计算扭矩并作扭矩图。由于外力偶矩将传动轴分为AB
AB
BC
CD
绘出扭矩图如图3.39(b)所示。由图可知,最大扭矩发生在BC
因该轴为等截面圆轴,所以危险截面为BC
(3)按强度条件设计轴的直径。由强度条件
16,则
316T
π[τ
316×700N·m
π×50×106 Pa=0.0415m=41.5mm3.3.4非圆截面杆扭转时的应力
前面讨论了圆形截面杆的扭转,但实际工程中有时会遇到非圆截面直杆的扭转问题。如建筑工程中的雨棚梁的扭转就是一个矩形截面杆的扭转问题。
图3.40
形截面杆的扭转问题。
取一横截面为矩形的杆在其侧面上画上纵向线和横向周界线[图3.40(a)],扭转变形后发现横向周界线已变为空间曲线[图3.40(b)]。这表明变形后杆的横截面已不再保持为平面,这种现象称为翘曲。所以,平面假设对非圆截面杆件的扭转已不再适用。
非圆截面杆件的扭转已不再适用。
非圆截面杆件的扭转可分为自由扭转和约束扭转。等直杆两端受扭转力偶作用,且翘曲不受任何限制的情况,属于自由扭转。这种情况下杆件各横截面的翘曲程度相同,纵向纤维的长度无变化,故横截面上没有正应力而只有切应力。图3.41(a)即表示工字钢的自由扭转。若由于约束条件或受力条件的限制造成杆件各横截面的翘曲程度不同,这势必引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除切应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。图3.41(b)即为工字钢约束扭转。像工字钢、槽钢等薄壁杆件,约束扭转时横截面上的正应力往往是相当大的。但一些实体杆件如截面为矩形或椭圆形的杆件,因约束扭转而引起的正应力很小,与自由扭转并无太大差别。
图3.41
非圆截面杆的自由扭转,一般在弹性力学中讨论。这里我们不加推导地引用弹性力学的一些结果并只限于矩形截面杆扭转的情况。这时,横截面上的切应力分布如图3.42(a)所示。边缘各点的切应力形成与边界相切的顺流。4个角点上切应力等于零 。最大切应力发生于矩形长边的中点,且按下列公式计算:
αhb
Gβhb
GI
表3.2矩形截面杆扭转时的系数α、β、ν
图3.42
梁在纵向对称面内受横向力作用时,在一般情况下,梁的横截面上既有弯矩又有剪力。弯矩M
图3.43
是既有正应力,又有剪应力。3.4.1梁的正应力及强度计算
1.纯弯曲时梁的正应力
如图3.43(a)所示的简支梁上,受两个外力F
研究纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式,与推导圆轴扭转时的切应力计算公式相仿,需要综合考虑几何、物理和静力三个方面。
(1)几何方面。为了找横截面上正应力的变化规律,现研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的线应变,亦即纵向线应变,从而找出纵向线应变在该截面上的变化规律。为此,在梁加载以前,先在其侧面上画出两条相邻的横向线mm
1)变形前相互平行的纵向直线aa
图3.44
2)变形前的横向线mm
根据上述实验结果,可以假设,变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持平面,且仍垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的平面假设。同时,设想梁由无数条纵向纤维所组成。在纯弯曲时,各纵向纤维之间无挤压作用,这个假设称为单向受力假设。又由于梁弯曲时[图3.44(b)],梁下部纵向纤维伸长,上部纵线纤维缩短。由于变形的连续性,纵向纤维自上至下由缩短到伸长的连续变形中,其中必定有一层纤维的长度不变,这一层称为中性层;中性层与横截面的交线称为中性轴[图3.44(c)]。纯弯曲时,梁横截面就是绕中性轴做微小的转动。
现从纯弯曲梁段内截取长为dx
如图3.44(d)所示,设距中性层y
AB
AB
(2)物理方面。由上述单向受力假设可知,纵向纤维处于单向受拉或受压状态。当材料处于线弹性范围内,则根据单向受力状态的胡克定律可得物理关系
将式(3.45)代入上式,得
(3)静力学方面。由于式(3.46)中的1
和中性轴位置均未确定,为此,需要考虑静力学方面。
在横截面上取微面积dA
zσ
yσ
在纯弯曲时,横截面上只有位于纵向对称面内的弯矩M
zσ
yσ
将式(3.46)代入式(3.47),得
∫A
将式(3.46)代入式(3.48),得
∫A
zσ
yz
yz
将式(3.46)代入式(3.49),得
yσ
∫A
于是式(3.52)可以写成
EI
是梁轴线变形后的曲率。式(3.53)表明,纯弯曲时其轴线曲率1
与弯矩M
越小,故EI
这就是纯弯曲时梁的正应力计算公式。
在应用式(3.54)时,弯矩M
2.横力弯曲时梁的正应力
工程上最常见的弯曲是横力弯曲。在这种情况下,梁的横截面上不仅有正应力,而且有切应力。由于切应力的存在,梁的横截面不能再保持为平面,将发生翘曲。此外,在与中性层平行的纵截面上,还有由横向力引起的挤压应力。因此,梁在纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不能成立。但是,精确理论分析表明,当跨度与高度之比l
在横力弯曲时,梁的弯矩随着横截面位置的变化而改变。一般情况下,最大正应力σ
ymax(3.56)则式(3.55)可改写为
对于高为h
对 于 直 径 为d
32
对于各种轧制型钢,其弯曲截面系数W
对于各种轧制型钢,其弯曲截面系数W
【例3.9】矩形截面悬臂梁的截面尺寸如图3.46所示 。已知梁的长度l
图3.45
图3.46
解:(1)首先求出1—1截面的弯矩
(2)计算截面的惯性矩I
(3)计算各点的正应力
28.1×10-6 m4 =2.54×106 Pa=2.54MPa(拉应力)
28.1×10-6 m4 =-1.62×106 Pa=-1.62MPa(压应力)
28.1×10-6 m4 =-3.47×106 Pa=-3.47MPa(压应力)
【例3.10】图3.47(a)所示简支梁由56a号工字钢制成 ,已知F
图3.47
解:首先作简支梁的弯矩图[图3.47(c)]。可见,截面C
利用型钢规格表查的,56a号工字钢截面的 W
由此可得危险截面上的最大正应力σ
2342×10-6 m3 =160×106 Pa=160MPa
危险截面上点a处的正应力 σ
(375×103 N·m)×(0.56
2m-0.021m)
65586×10-8 m4 =148×106 Pa=148MPa
因为梁横截面上的正应力沿截面高度是按直线规律变化的,所以,当已经求得横截面上的σ
0.56m
2-0.021m
0.56m
×160MPa=148MPa
在上面的计算中未考虑钢梁的自重,因为由自重引起的正应力与由外荷载引起的正应力相比极小。在一般情况下,钢梁的自重可以忽略不计。
【例3.11】图3.48(a)所示矩形截面简支木梁,已知q
图3.48
解:竖放和平放两种情况的最大弯矩M
8×(2kN/m)×(4m)2 =4kN·m
(1)梁竖放时
6=( 0.1m)×(0.2m)2
6=6.67×10-4 m3
6.67×10-4 m3 =6×106 Pa=6MPa
(2)梁平放时
6=( 0.2m)×(0.1m)2
6=3.33×10-4 m3
3.33×10-4 m3 =12×106 Pa=12MPa
(3)竖放和平放的比较
12MPa=1
同一根梁,竖放时的最大正应力只占平放时的一半。在计算中可以看出,梁的最大正应力与截面的弯曲系数W
3.梁的正应力强度条件
对于等直梁而言,其最大弯曲正应力发生在最大弯矩所在截面上距中性轴最远的各点处,而该点处的切应力等于零或与该点的正应力相比很小。此外,纵截面上由横向力引起的挤压应力可忽略不计。因此,可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态,看作单向应力状态。这样,仿照轴向拉(压)时的强度条件来建立梁的正应力强度条件,即梁的横截面上的最大正应力σ
对于抗拉和抗压强度相同的材料,如低碳钢,只要绝对值最大的正应力不超过许用应力[σ
利用强度条件进行上述各项计算时,为了确保既安全可靠又节约材料的原则,某些设计规范还规定,梁内的工作应力σ
图3.49
[σ
【例3.12】一伸臂梁受力如图3.49(a)所示,该梁选用22a工字钢 ,钢材的许用应力[σ
解:首先确定梁内的最大弯矩M
利用型钢表查得,22a号工字钢截面的 W
由此可得危险截面(B
309×10-6 m3 =155.34×106 Pa=155.34MPa<[σ
故满足强度要求。
【例3.13】悬臂钢梁受均布荷载作用,如图3.50(a)所示。已知材料的许用应力[σ
图3.50
解:首先作悬臂梁的弯矩图[图3.50(b)]。可见,梁的固定端处截面弯矩为最大,其值为
由正应力强度条件
可得
170×106 Pa=235×10-6 m3 =235×103 mm3 (a)
根据W
(1)圆截面。设圆截面的直径为d
32,代入式( a),得
332W
π=
332×235×103 mm3
3.14=133.8mm
其最小面积为:
4πd
4×π×(133.8mm)2 =14060mm2
(2)矩形截面。由于W
6,且 h
6=2b
3。代入式( a),得
33W
2=
33×235×103 mm3
2=70.6mm
其最小面积为
(3)工字形截面。根据式(a)中W
现在来比较三种截面材料用量,由于该等直梁的长度及荷载一定,因此材料用量之比就等于三者重量之比,也等于横截面面积之比,即
由此可见,在满足梁的正应力强度条件下,工字形截面最省料,矩形截面次之,圆截面耗费材料最多。
【例3.14】跨长l
图3.51
[σ
解:要使这一截面最合理,必须使梁的同一横截面上的最大拉应力与最大压应力[图3.51(c)]之比σ
根据式(3.54)σ
又知[σ
90=1
3,所以
[σ
3( a)
由图3.51(b)可知
由式(a)、式(b)解得
由y
+70-60()δ
2=0
由上式求得
确定δ
12+220×60×70-60
2+ 24×2203
12+24×220×210-220
=99.2×106 mm4 =99.2×10-6 m4
梁的最大弯矩位于跨中截面处,其值为
4×(80kN)×(2m)=40kN·m
校核该截面上的最大拉(压)应力,即
99.2×10-6 m4 =28.27×106 Pa=28.27MPa<[σ
【例3.15】一槽形截面铸铁梁如图3.52(a)所示。已知b
图3.52
解:作梁的弯矩图如图3.52(c)所示,最大负弯矩在截面B
2, M
4因而B
设下边缘和上边缘各点到中性轴的距离分别为y
由于M
2×2×103 mm
×86mm
5493×104 mm4 ≤30MPa
2×2×103 mm
×134mm
5493×104 mm4 ≤90MPa
取其中较小者,即得该梁的许可荷载为[F
另外,由于y
1.梁的切应力
横力弯曲时,梁横截面上既有弯矩又有剪力,所以横截面上除有正应力外,还有切应力。这里仅讨论几种常见截面梁的切应力计算公式。
(1)矩形截面梁。在梁的横截面上,切应力的分布是比较复杂的,因此先对梁横截面上的切应力分布规律作出假设。设横向力作用在矩形截面梁的纵向对称面内[图3.53(a)],则任一截面的剪力F
图3.53
如以m
为了计算n
(M
(3.59)其中S
同理可以求得左侧面am上内力系的合力为
图3.54
图3.54
由于微段的长度dx
dF＇
τ＇
dx
dx
τ＇
由切应力互等定理可知,τ
这就是矩形截面梁弯曲切应力的计算公式。它表明,横截面上任一点处的切应力τ
对于矩形截面(图3.55),可取dA
4- y
代入式(3.62),即得
2I
4-y
(3.63)
从式(3.63)中可以看出,沿截面高度剪应力τ
8I
8I
将I
12代入上式,即得
图3.55
(2)工字形截面梁。对于工字形截面,其腹板截面是一个狭长矩形。关于矩形截面上切应力分布的两假设仍然适用。因此,用相同的方法导出相同的切应力计算公式,即
在具体计算τ
就是型钢规格表中给出的I
计算结果表明,腹板上的最大切应力与最小切应力相差不大,可近似地认为腹板上的切应力是均匀分布的;腹板承担的剪力约等于(0.95~0.97)F
hd
:h
在翼缘上,剪应力的情况比较复杂,既有与剪力
图3.56
在翼缘上,剪应力的情况比较复杂,既有与剪力F
(3)薄壁环形截面梁。如图3.57所示薄壁环形截面 ,环壁厚度为t
图3.57
图3.58
对于圆环形截面,其最大切应力τ
可见,薄壁圆环形截面梁,其横截面上的最大切应力为平均切应力的2倍 。
(4)圆形截面梁。对于圆截面梁(图4.58),由切应力互等定理可知,在截面边缘上各点处切应力τ
圆截面的最大切应力仍在中性轴上各点处。由于在中性轴两端处切应力的方向均与圆周相切,且与外力所在平面平行,故中性轴上各点处的切应力方向均与外力所在平面平行,且中性轴上各点处切应力相等。于是,仿照推导矩形截面弯曲切应力公式的方法,得圆截面上的最大弯曲切应力为
3倍。
【例3.16】矩形截面简支梁在跨中受集中力F
(1)求m
(2)试比较梁中的最大正应力和最大切应力。
(3)若采用32a工字钢 ,求最大切应力。
图3.59
解:先作出梁的剪力图和弯矩图,如图3.59(c)、(d)所示。可见
12=( 0.1m)(0.2m)3
12=66.7×10-6 m4
=66.7×10-6 m4
0.2m
=66.7×10-5 m3
c=(0.1×0.05)×(0.05+0.025)=3.75×10-4 m3 (1)求m
由式(3.42)得y
(66.7×10-6 m4 )(0.1m)=1.12×106 Pa=1.12MPa
(2)比较梁中的σ
66.7×10-5 m3 =90×106 Pa=90MPa
由式(3.44)可得矩形截面梁中最大切应力为
2×20×103 N
0.1×0.2m2 =1.5×106 Pa=1.5MPa
两者之比为
由此可以看出,对于细长梁,梁中的最大正应力比最大切应力要大得多。因此在校核梁的强度时,有时可以忽略剪力的影响。
(3)求32a工字钢截面最大切应力 。由型钢规格表查得,32a工字钢的 I
(27.5×10-2 m)(9.5×10-3 m)=7.66×106 Pa=7.66MPa
2.梁的切应力强度条件
对于等直梁,梁弯曲时其最大切应力τ
对于横力弯曲下的等直梁,其横截面上既有弯矩又有剪力。梁除保证正应力强度外,还需满足切应力强度要求。等直梁的最大切应力通常发生在中性轴各点处,而该处各点的正应力恰好为零,忽略纵截面的挤压应力后,最大切应力所在各点处于纯剪切应力状态。于是,仿照纯剪切应力状态下的强度条件,来建立弯曲切应力强度条件,即
一般说来,在进行梁的弯曲强度计算时,除应满足弯曲正应力强度条件外,还应满足切应力强度条件。在工程中,通常是先按正应力强度条件来选择截面尺寸,再按切应力强度条件进行校核。对于细长梁,如果满足正应力强度条件,一般都能满足切应力强度条件,一般可以不再进行切应力强度校核。只有在下述一些情况下,必须进行切应力强度校核:
(1)梁的跨度较小或者在支座附近作用较大的荷载,使梁的弯矩较小,而剪力可能很大。
图3.60
(2)铆接或焊接的组合截面梁,如工字形截面、槽形截面等,若腹板较薄且高度很大,致使厚度与高度的比值小于型钢的相应比值,腹板上产生较大的剪应力。
(3)由于木材的顺纹抗剪能力很差,当截面上切应力很大时,木梁可能沿中性层发生剪切破坏。
【例3.17】一外伸工字型钢梁,工字钢型号为22a,梁上荷载如图3.60(a)所示。已知l
解:首先计算梁的支座反力为
再绘制出梁的剪力图和弯矩图,如图
再绘制出梁的剪力图和弯矩图,如图3.60(b)、(c)所示。由F
由型钢规格表查得22a工字钢有关数据为
最后,分别用正应力强度条件和切应力强度条件来校核梁的强度。
梁的最大正应力为
309×10-6 m3 =126×106 Pa=126MPa<[σ
梁的最大剪应力为
(18.9×10-2 m)(7.5×10-3 m)=12×106 Pa=12MPa<[τ
故梁满足强度要求。
【例3.18】一简支梁受有四个集中荷载作用F
解:首先计算梁的支座反力为
再作出梁的剪力图和弯矩图,如图3.61(c)、(d)所示。由F
图3.61
先根据梁的正应力强度条件选择截面,由σ
170×106 Pa=367×10-6 m3 =367cm3
则每一根槽钢应有抗弯截面系数为
W＇
2=183.5cm3
从型钢规格表中选用20a号槽钢 ,其抗弯截面系数为
此值稍小于所需弯曲截面系数最小值183.5cm3 ,但仅相差约3%。此时选用两根20a槽钢时的最大正应力
2W
2×178×10-6 m3 =175×106 Pa=175MPa超过许用正应力[σ
再用切应力强度条件对梁进行校核。由于梁跨长较短,且荷载F
每根槽钢z
2=104000mm3 =104×10-6 m3
则每根槽钢中性轴上最大剪应力为
(2×1780.4×10-8 m4 )×(2×7×10-3 m)
=57.6×106 Pa=57.6MPa<[τ
满足梁的切应力强度条件,故可使用2根 20a槽钢组成的梁 。3.4.3提高梁强度的措施
梁是工程中最常见的一种构件。在设计梁时,既要节省材料、减轻梁的自重,又要尽量提高梁的强度,来满足工程上既安全又经济的要求。如前所述,由于弯曲正应力是控制梁强度的主要因素,因此,提高梁强度的措施,必须以弯曲正应力强度条件作为主要依据,即
从上式可以看出,要提高梁的承载能力,一方面要合理安排梁的受力情况,以降低M
1.合理配置梁的荷载和支座
合理地配置梁上荷载,可降低梁的最大弯矩值。如图3.62(a)所示简支梁跨中承受集中力F
4。若采用一个辅梁,使集中力通过辅梁再作用 到梁上[图3.62(b)],则梁的最大弯矩降低为M
8。
图3.62
同理,合理安排支座位置,也可降低梁内的最大弯矩。如图3.63(a)所示简支梁承受均布荷载q
40
5。
2.合理选取梁的截面
当弯矩一定时,截面上的最大正应力与弯曲截面系数成反比,因此,增大弯曲截面系数W
6;若把它平放 [图3.64(b)],则W
6。两者之比是
6。两者之比是
可见竖放比平放有较高的抗弯强度。在土建工程中,矩形截面梁一般都应竖放的。
在表3.3中 ,列出了几种常用截面的W
图3.63
图3.64
表3.3几种截面的Wz与A的比值
在选取合理截面形状时,还应考虑材料的特性。对抗拉和抗压强度相等的塑性材料(如低碳钢),宜采用以中性轴为其对称轴的截面,如圆形、矩形、工字形等,这样可使截面上、下边缘处的最大拉(压)应力相等,且同时接近许用应力。对抗拉和抗压强度不等的脆性材料(如铸铁),宜采用T形等 (图3.65)对中性轴不对称的截面,并将翼缘部分置于受拉侧。对于这类截面,应使y
[σ
上式表明,梁内最大弯矩截面上的最大拉(压)应力同时接近许用应力。这样,就能充分利用材料的特性。
3.合理设计梁的外形
前面讨论的是等截面直梁,W
面,而在弯矩较小处,采用较小截面。这种截面沿轴线变化的梁,称为变截面梁。例如,雨篷或阳台的悬臂梁常采用变截面梁,变截面梁的正应力计算仍可近似地用等截面梁的公式。
图3.65
变截面梁的正应力计算仍可近似地用等截面梁的公式。
若使变截面梁各横截面上的最大正应力都相等,且均达到材料的许用应力,就是等强度梁。设梁在任一截面上的弯矩为M
[σ
这是等强度梁的W
图3.66
这是等强度梁的W
例如,宽度不变而高度变化的矩截面简支梁(图3.66),若设计成等强度梁,则其高度随截面位置的变化规律h
6=
[σ
但在靠近支座处,应按切应力强度条件确定截面的最小高度为
2则h
4b
以上主要是从弯曲强度的角度来考虑的,但在实际工程中,设计一个构件时,还应考虑刚度、稳定性、工艺条件、加工制造等多方面的因素。经综合考虑比较后,再正确地选用具体措施。
在工程中,经常需要把构件相互连接起来,例如连接钢板的螺栓连接和铆钉连接[图3.67(a)、(b)],机械中的轴与齿轮之间的键连接[图3.67(d)],木结构中的榫齿连接[图3.67(f)]以及钢结构中的焊缝连接[图3.67(e)]等。在这些连接中,螺栓、铆钉、销轴、键等都是起连接作用的部件,称为连接件。
图3.67(a)螺栓连接;(b)铆钉连接;(c)销轴连接; (d)键连接;(e)焊接;(f)榫齿连接
由于连接件的本身尺寸较小,而变形往往较为复杂,在工程设计中为简化计算,通常根据连接破坏的可能性,采用实用计算法。现以螺栓(或铆钉)连接[图3.68(a)]为例,对实用计算法做一介绍。连接处的破坏可能性有三种:①螺栓在两侧与钢板接触面的 压力F
如图3.68a所示两块钢板用螺栓连接并承受拉力 F
应用截面法将螺栓假想地沿剪切面m
在弹性范围内,螺栓剪切面上的切应力分布情况是比较复杂的,在剪切实用计算中,假设剪切面上各点处的切应力是均匀分布的。于是,剪切面上的名义切应力为
工程中螺栓(铆钉)连接主要搭接[图3.69(a)]、单盖板对接[图3.69(b)]和双盖板对接[图3.69(c)]三种。在搭接和单盖板对接中,铆钉被剪断时只有一个剪切面,称为单剪;而在双盖板对接中,铆钉被剪断时有两个剪切面,称为双剪。无论单剪还是双剪,均可用式(3.75)计算剪切面上的切应力,但计算时要确定螺栓(铆钉)有几个剪切面,以及每个剪切面上的剪力。
图3.68
图3.69
通过直接试验,并按名义切应力公式(3.75),得到剪切破坏时材料的极限切应力τ
虽然按名义切应力公式(3.75)求得的切应力值,并不反映剪切面上切应力的精确理论值,它只是剪切面上的平均切应力,但对于用低碳钢等塑性材料制成的连接件,当变形较大而临近破坏时,剪切面上的切应力将逐渐趋于均匀。而且,满足剪切强度条件式(3.76)时,显然不至于发生剪切破坏,从而满足工程实用的要求。3.5.2挤压的实用计算
连接件除承受剪切外,在连接件和被连接件的接触面上还将承受挤压。在图3.68(a)所示的螺栓连接中,在螺栓与钢板相互接触的侧面上,将发生彼此间的局部承压现象,称为挤压;在接触面(又称挤压面)上的压力,称为挤压力,并记为F
图3.70
当接触面为圆柱面(如螺栓或铆钉连接中螺栓与钢板间的接触面)时,计算挤压面面积A
通过直接试验,并按名义挤压应力公式得到材料的极限挤压应力,从而确定许用挤压应力[σ
应当注意,挤压应力是在连接件和被连接件之间相互作用的。因此,当两者材料不同时,应校核其中许用挤压应力较低的材料的挤压强度。
【例3.19】图3.71(a)表示齿轮用平键与轴连接(图中只画出了轴与键,没有画出齿轮)。已知轴的直径d
解:首先校核键的剪切强度。将平键m
图3.71
对轴心取矩,由平衡方程∑M
2=blτ
2=M
bld
20×100×70×10-9 m3 =28.6×106 Pa=28.6MPa<[τ
可见,平键满足剪切强度条件。
其次校核键的挤压强度。考虑键在m
在水平投影方向由平衡方程得
12×10-3 m=89.3×106 Pa=89.3MPa<[σ
故平键也满足挤压强度要求。
【例3.20】有两块钢板,其厚度分别为t
用五个直径相同的铆钉搭接。受拉力F
解:首先分析每个铆钉所受的力。当各铆钉直径相同,且外力作用线通过该组铆钉截面形心时,可假定每个铆钉的受力相等。因此在具有n
5=40kN。
图3.72
根据上面的分析,绘出上钢板的受力图和轴力图[图3.72(b)],然后画铆钉的受力图[图3.72(c)]。因为上钢板的厚度为t
(1)铆钉的抗剪强度计算。由于铆钉受单剪,则每个铆钉剪力F
由剪切的强度条件
πd
π[τ
3.14×140×106 Pa=19.1×10-3 m=19.1mm
(2)挤压强度计算。由图3.72(c)看出,每个铆钉的挤压力F
由挤压强度条件
dt
(8×10-3 m)(320×106 Pa)=15.6×10-3 m=15.6mm
(3)上钢板的抗拉强度计算。由上钢板的受力图和轴力图[图3.72(b)]可知,1—1截面最危险 。该截面上的轴力F
由抗拉强度条件为
即200×103 N
(0.2-2d
解得d
综合上面计算结果说明,铆钉的直径应该大于19.1mm,以满足抗剪和挤压强度的要求,但应小于22mm;否则,钢板的抗拉强度就不够。度就不够。
【例3.21】在图3.73(a)所示的螺栓连接中,已知:盖板厚度δ
解:首先分析螺栓及盖板和主板所受的力。因为螺栓直径相同,且外力作用线通过螺栓群的几何中心,故可假设每个螺栓受力均相等。据此,可画出螺栓、主板、盖板的受力图分别如图3.73(d)、(b)、(e)所示。
(1)螺栓的剪切强度校核。由图3.73(d)可见,螺栓有两个剪切面,称为双剪,利用截面法可求得剪力为
则由剪切强度条件,得τ
πd
3πd
3π×27×10-3 m()2
=87.3×106 Pa=87.3MPa<[τ
图3.73
=87.3×106 Pa=87.3MPa<[τ
(2)螺栓连接的挤压强度校核。因为主板的挤压力和挤压面面积均为盖板的2倍 ,故它 们 的 挤 压 应 力 相 等。由 挤 压 强 度 条件,得
件,得
3×20×10-3 m()×27×10-3 m()
=185.2×106 Pa=185.2MPa<[σ
主板1—1截面的拉应力为
150×10-3 m-27×10-3 m()×20×10-3 m()
=121.95×106 Pa=121.95MPa
主板2—2截面的拉应力为
3150×10-3 m-2×27×10-3 m()×20×10-3 m()
=104.2×106 Pa=104.2MPa
盖板3—3截面的拉应力为
2150×10-3 m-2×27×10-3 m()×10×10-3 m()
=156.25×106 Pa=156.25MPa
均未超过许用拉应力。
综合上面计算结果说明,该接头满足强度要求。
本章主要讨论了基本变形下杆件的应力和强度条件的计算问题。在分析中首先由杆件的表面变形现象,得到平面假设,即变形前原为平面的横截面,变形后仍保持为平面且仍垂直于杆轴线;再根据平面假设,得到杆件的变形规律,推出应力分布规律。通过综合考虑几何、物理和静力三方面关系,得到基本变形下杆件的应力计算公式,并建立强度条件。根据强度条件可以解决三方面的强度问题,即强度校核、选择截面尺寸和确定许可载荷。
杆件强度问题还与材料的力学性能有关,本章也介绍了常温、静载下材料在拉伸和压缩时的力学性能。
(1)构件内某一点处的应力是指内力在该点处的集度,反映内力系在该点处的强弱程度。一点处的应力可分解为两个应力分量,沿截面法线方向的分量称为正应力;沿截面切线方向的分量称为切应力。
轴向拉(压)杆件横截面上的拉(压)正应力是均匀分布的,其正应力计算公式为
对于等截面直杆,拉伸(压缩)时的强度条件为
(2)材料力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面,一般是通过试验方法来完成。其中常温、静载条件下的拉伸试验是最主要、最基本的一种试验。在低碳钢拉伸试验中,根据材料的σ
(3)由薄壁圆筒的扭转实验和分析得到两个重要结论:切应力互等定理及剪切胡克定律。它们是研究圆轴扭转问题的理论基础,也是材料力学中的重要定理。
通过对圆轴的几何、物理及静力三方面的分析,可知在线弹性范围内,圆轴扭转时横截面上切应力沿径向呈线性分布,方向与半径相垂直,其计算公式为
最大切应力τ
等值圆轴扭转时的强度条件为
以上各公式只适用于实心或空心圆截面。
(4)梁平面弯曲时横截面上的正应力公式也是综合考虑几何、物理和静力三方面关系得出的。梁横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布,在中性轴处正应力为零,在梁的上、下边缘处正应力最大。梁横截面任一点的正应力计算公式为
梁横截面上的最大应力为
梁横力弯曲时,横截面上切应力的分布要比正应力的分布复杂。矩形截面的切应力沿截面高度呈二次抛物线规律分布,中性轴处切应力最大,在截面上、边缘切应力为零;切应力方向与该截面上剪力方向一致。其计算公式为
该公式可推广应用于其他截面形状的梁,但须代入相应的S
等直梁弯曲正应力强度条件和切应力强度条件分别为
z,max
对于材料抗拉、抗压性能不同的梁,且横截面不对称于中性轴,则应分别进行强度计算,即
(5)连接件的剪切应力与挤压应力比较复杂,工程上一般采用实用计算方法。计算中假设剪切面和挤压面上各点处的应力是均匀分布的,其剪切强度条件和挤压强度条件分别为
连接件的强度问题一般需要考虑连接件的剪切强度、连接件与被连接构件之间的挤压强度和构件薄弱位置的拉伸强度三个方面,确定挤压面和剪切面是强度计算的关键。
思3.1试论证杆件横截面上各点处的正应力若相等 ,则截面上法向分布内力的合力必通过横截面的形心。反之,法向分布内力的合力虽通过横截面的形心,但正应力在横截面上各点处却不一定相等。
思3.2杆长和横截面面积均相同而截面形状和材料均不同的两个直杆 ,在相同的轴向外力作用下,二杆横截面上的正应力值是否相同?二杆的轴向变形值又是否相同?
思3.3如思 3.3图所示的托架 ,若AB
思3.4三种材料的 σ
思3.3图
思3.4图
思3.5什么是钢材的冷作硬化 ?冷作硬化在工程有何应用?
思3.6塑性材料和脆性材料的主要区别什么 ?
思3.7何谓应力集中 ?什么情况下产生应力集中现象?用塑性材料和脆性材料制成的构件,对应力集中有什么不同的反映?
思3.8圆轴扭转的切应力公式是如何建立的 ?基本假设是什么?
思3.9思 3.9图中实心与空心圆轴的扭转切应力分布图是否正确 ?其中T
思3.9图
思3.10如思 3.10图所示的单元体 ,已知右侧面上有与y
思3.10图
思3.11图
思3.11由实心圆杆 1及空心圆杆 2组成的受扭圆轴如思 3.11图所示 。假设在扭转过程中两杆无相对滑动,若①两杆材料相同 ,即G
思3.12空心圆轴铀的外径为 D
32-πd
32, W
16-πd
16
思3.13若将圆轴的直径增大一倍 ,其他条件不变,则最大切应力和扭转角将如何变化?
思3.14思 3.14图 (a)所示受扭圆杆,由两个横截面ABE
思3.14图
可得隔离体各截面上的切应力分布如思3.14图 (b)所示,试问:
(1)纵截面ABCD
(2)该合力偶是与这部分杆件上什么力偶平衡的?
思3.15在强度条件相同的情况下 ,受扭空心圆轴为什么要比实心圆轴节省材料?
思3.16矩形截面杆的扭转与圆轴扭转有什么不同 ?其横截面上的应力分布有什么特点?
思3.17推导对称弯曲正应力公式时做了哪些假设 ?在什么条件下这些假设才是正确的?
思3.18何谓中性轴 ?如何确定中性轴位置?
思3.19梁在纯弯曲时正应力计算公式的使用范围是什么 ?在什么条件下可推广到横力弯曲?
思3.20若梁发生平面弯曲 ,试绘出思3.20图中的各种形状截面上弯曲正应力的分 布规律。
思3.20图
思3.21同一梁按思 3.21图 (a)、(b)两种方式放置。试问两梁的最大弯曲正应力是否相同?
思3.22由四根 100mm×80mm×10mm不等边角钢焊成一体的梁 ,在纯弯曲条件下按思3.22图示四种形式组合 ,试问哪一种强度最高?哪一种强度最低?
思3.21图
思3.22图
思3.23思 3.23图 (a)、(b)所示的钢梁和三脚架材料相同,三脚架两杆的横截面面积之和与钢梁的横截面面积相等。已知l
思3.23图
思3.24在推导矩形截面梁弯曲切应力计算公式时 ,作了哪些假设?切应力在横截面上是怎样分布的?
思3.25在计算思 3.25图示矩形截面梁 a
思3.26为什么等直梁的最大切应力一般都是在最大剪力所在横截面的中性轴上各 点处,而横截面的上、下边缘各点处的切应力为零?对于思3.26图示的两个截面而言 ,其最大切应力是否也位于中性轴上各点处?为什么?
思3.25图
思3.26图
思3.27提高梁的弯曲强度的主要措施有哪些 ?思3.28压缩和挤压有何区别 ?为何挤压许用应力大于压缩许用应力?思3.29试分析思 3.29图示连接中的剪切面和挤压面 ?
思3.29图
思3.30在思 3.30图示铆接结构中 ,力是怎样传递的?若板与铆钉的相同,直径也相同,问要满足哪些强度条件,才能保证整个铆接结构的安全?
思3.30图
习3.1试求习 3.1图示等直杆横截面 1—1、截面2—2和截面 3—3上的轴力 ,并作轴力图。若横截面面积A
习3.2试求习 3.2图示阶梯状直杆横截面 1—1、截面2—2和截面 3—3上的轴力 ,并作轴力图。若横截面面积A
习3.1图
习3.2图
习3.3习 3.3图示一混合屋架结构的计算简图 。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成,其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢 。已知屋面承受集度为q
习3.4石砌桥墩的墩身高 l
习3.3图
习3.4图
习3.5习 3.5图示拉杆承受轴向拉力 F
习3.6习 3.6图示圆杆受轴向力 F
习3.5图
习3.6图
习3.7简易起重设备的计算简图如习 3.7图所示 。已知斜杆AB
习3.8一块厚 10mm,宽200mm的旧钢板 ,其截面被直径d
习3.7图
习3.8图
习3.9一结构受力如习 3.9图所示 ,杆件AB
习3.10一桁架受力如习 3.10图所示 。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ
习3.9图
习3.10图
习3.11习 3.11图示结构中 ,AB
习3.12习 3.12图示为一起重机简图 。设拉索AB
习3.11图
习3.12图
习3.13习 3.13图示拉杆沿斜截面 m
习3.13图
习3.14图
习3.15图
习3.14在习 3.14图示体系中 ,BC
习3.15习 3.15图示为一圆截面空心轴 ,其外径D
习3.16圆轴的直径 d
习3.17空心钢轴的外径 D
习3.18阶梯圆轴 AB
习3.18图
习3.19一钻探机的功率为 10kW,转速n
习3.20习 3.20图所示的实心轴与空心轴 通过牙嵌离合器相连接。已知轴的转速n
通过牙嵌离合器相连接。已知轴的转速n
习3.19图
习3.20图
习3.21某小型水电站的水轮机容量为 50kW,转速为300r/min,钢轴直径为75mm,若在正常运转下且只考虑扭转矩作用,其许用切应力[τ
习3.22长度相等的两根受扭圆轴 ,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者材料相同,受力情况也一样。实心轴直径为d
习3.23习 3.23图示等直圆杆 ,已知外力偶矩M
习3.24阶梯形圆杆如习 3.24图所示 ,AE
习3.23图
习3.24图
习3.25习 3.25图示矩形截面杆 ,两端受集中力偶矩M
习3.25图
习3.26图
习3.26习 3.26图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩 M
(1)杆内最大切应力的大小、位置和方向。
(2)横截面短边中点处的切应力。
习3.27汽车的主传动轴 ,由No.45钢管制成 ,外径D
习3.28矩形截面的悬臂梁受集中力和集中力偶作用 ,如习3.28图所示 。试求截面m
习3.28图
习3.29对于横截面边长为 b
习3.30如习 3.30图所示 ,欲从直径为d
习3.31有一圆形截面梁 ,直径为d
习3.30图
习3.31图
习3.32两个矩形截面的简支木梁 ,其跨度,荷载及截面尺寸都相同,一个是整体,另一个是由两根方木叠落而成(二方木之间不加任何联系),如习3.32图所示 。试分别计算两个梁的最大正应力,并分别画出横截面上正应力分布规律图。
习3.32图
习3.33图
习3.33由两根 28a号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用 ,如习3.33图所示 。已知该 梁 材 料 为Q235钢 ,其许用弯曲正应力[σ
习3.34图
习3.35图
习3.34一简支梁受力如习 3.34图所示 ,荷载F
习3.35一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受荷载如习 3.35图所示 。木料的许用弯曲正应力σ
习3.36横截面如习 3.36图所示的铸铁简支梁 ,跨长l
习3.36图
习3.37图
习3.37铸铁梁的荷载及截面尺寸如习 3.37图所示 ,许用拉应力σ
习3.38图
成形,是否合理?为什么?
习3.38一铸铁梁如习 3.38图所示 。已知材料的拉伸强度极限σ
习3.39如习 3.39图所示 ,当荷载F
习3.40习 3.40图示的外伸梁由 25a号工字钢制成 ,其跨长l
习3.39图
习3.40图
习3.41一简支木梁 ,在全梁长度上受集度为q
习3.42起重机下的梁由两根工字钢组成 ,起重机自重P
习3.42图
习3.43图
习3.44图
习3.43一悬臂梁长为 900mm,在自由端受一集中力F
习3.44图
曲正应力。
习3.44一矩形截面木梁 ,其截面尺寸及荷载见习3.44图 ,q
习3.45简支梁 AB
习3.45图
习3.46由工字钢制成的简支梁受力如习 3.46图所示 。已知材料的许用弯曲正应力σ
习3.47习 3.47图示木梁受一可移动的荷载 F
2。试选择梁的截面尺寸。
习3.46图
习3.47图
习3.48题
习3.48外伸梁 AC
习3.49如习 3.49图所示 ,用夹剪剪断直径为3mm的铅丝 。若铅丝的剪切极限应力约为100MPa,试问需要多大的F
习3.50如习 3.50图所示 ,在厚度t
习3.49图
习3.50图
习3.51试校核习 3.51图示拉杆头部的剪切强度和挤压强度 。已知图中尺寸D
习3.51图
习3.52图
习3.52水轮发电机组的卡环尺寸如习 3.52图所示 。已知轴向荷载F
习3.53正方形截面的混凝土柱 ,其横截面边长为200mm,其基底为边长a
习3.54习 3.54图示一螺栓接头 。已知F
习3.53图
习3.54图示。已知b=80
习3.53图
习3.54图
习3.55拉力 F
习3.56两直径 d
习3.55图
习3.56图
习3.57如习 3.57图所示 ,跨长l
习3.58矩形截面木拉杆的榫接头如习 3.58图所示 。已知轴向拉力F