扭转是杆件的基本变形之一，它是由大小相等，方向相反，作用线都垂直于杆轴的两个力偶引起的，表现为杆件的任意两个截面发生绕轴线的相对转动。
1外力偶矩的计算公式
式中，P为轴的输入功率；n为转速。
2扭矩T
（1）扭矩计算
利用截面法，根据静平衡条件求得。
（2）符号规定
若按右手螺旋法把T表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，T为正；反之为负。
3扭矩图
表示各截面上扭矩沿轴线变化情况的图线，即用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标T表示横截面上的扭矩。
提示：正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。
1薄壁圆筒（δ≤r/10）扭转时的切应力
图3-1-1
横截面应力特征：
横截面无正应力，只有切应力，且切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的方向一致，如图3-1-1所示。
切应力计算公式：
2切应力互等定理
单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。
3剪切胡克定律
（1）纯剪切
若单元体的各个侧面上只有切应力并无正应力，这种情况称为纯剪切。
（2）切应变
对于长为l的圆筒，两端相对扭转角为φ，则切应变γ＝rφ/l。
（3）剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变与切应力成正比，即τ＝Gγ，其中，G为材料的切变模量。
（4）弹性常量间关系
对于各向同向材料，弹性模量E、泊松比μ、切变模量G三者之间的关系为
4剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
1圆轴扭转时的应力
（1）应力计算公式
推导圆轴扭转时的应力计算公式，需同时考虑变形几何、物理和静力三方面的关系。
①变形几何关系：圆轴扭转的平面假设；
②物理关系：剪切胡克定律；
③静力关系：横截面上的内力系对圆心的力矩合成为扭矩。
如图3-1-2所示，横截面上任一点的切应力为
τρ＝Tρ/Ip
圆截面边缘的最大切应力
τmax＝TR/Ip＝T/Wt
式中，ρ为应力点到圆心的距离；Ip为横截面的极惯性矩；Wt为扭转截面系数。
图3-1-2
对于直径为D实心圆形截面
Ip＝πD4/32，Wt＝πD3/16
对于内径为d，外径为D的空心圆截面
式中，α＝d/D。
上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。
（2）强度条件
对于等直杆
τmax＝Tmax/Wt≤[τ]
对于变截面杆件需综合考虑T和Wt，以求得切应力的最大值。
强度条件的应用：
①强度校核：Tmax/Wt≤[τ]。
②截面选择：Wt≥Tmax/[τ]。
③计算许可荷载：Tmax≤Wt[τ]。
2圆轴扭转时的变形
（1）变形量计算
①相对扭转角
等直杆扭转时，相距为l的两截面间的相对扭转角为
式中，GIp称为扭转刚度。
对于各段内T或Ip不同的等直轴，相对扭转角为
②单位扭转角
单位扭转角的计算公式为
对于截面间T相等的等直杆，单位扭转角计算公式可写为
上述扭转角和单位扭转角的计算公式适用于材料在线弹性范围内的圆杆。
（2）刚度条件
工程中，单位扭转角的常用单位为（°）/m，刚度条件为
1弹簧横截面的应力计算
（1）近似计算
计算假定：簧丝曲率较小时，不考虑其影响，并认为剪切力引起的剪应力均匀分布，采用直杆计算公式，则截面最大切应力为
式中，F为作用在弹簧圈中心的力；d为簧丝的直径；D为弹簧圈的平均直径。
（2）修正计算
在考虑簧丝曲率和剪应力并非均匀分布的情况下，最大切应力的计算修正公式为
式中，c为弹簧指数，c＝D/d；k为曲度系数
（3）强度条件
τmax≤[τ]
2弹簧的变形计算
在作用点在弹簧圈中心的力F的作用下，沿力的作用方向的位移
式中，C为弹簧刚度，
R为弹簧圈平均半径，R＝D/2；n为弹簧的有效圈数。
1基本概念
（1）翘曲：扭转变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
（2）自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的扭转。
变形和受力特点：各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化；横截面上只有切应力。
（3）约束扭转：由于受力或约束条件限制导致翘曲受限的扭转。
变形和受力特点：各横截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度改变；横截面上有切应力和正应力。
2矩形截面的扭转计算
（1）一般矩形截面（h/b≤10）
分布特点：周边各点切应力与周边相切，没有垂直于周边的切应力分量，顶点处切应力等于零，切应力变化情况如图3-1-3（a）所示。
图3-1-3
横截面上的最大切应力τmax发生在长边中点处
短边上切应力最大值发生在中点处
τ1＝ντmax
矩形截面扭转时，相对扭转角
式中，α、β、ν是与比值h/b有关的系数；GIt为杆件的抗扭刚度。
（2）狭长矩形截面（h/b＞10）
分布特点：与一般矩形相似，不同之处在于长边各点切应力数值接近相等，靠近顶点处除外，如图3-1-3（b）所示。
若以δ表示矩形短边宽度，则最大切应力和相对扭转角的计算公式为
（1）薄壁杆件：壁厚远小于横截面的高、宽或平均半径的杆件。壁厚中线：薄壁杆件横截面壁厚的平分线。
（2）开口薄壁杆件的自由扭转
开口薄壁杆件：壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线。
假设前提：自由扭转时横截面在变形过程中只作自身平面内的刚体平动。整个横截的转角与截面上各部分（视为狭长矩形）的扭转角相等。
最大切应力发生在宽度最大的狭长矩形长边上，切应力与截面边缘相切形成顺流，同一厚度线的两端切应力方向相反，最大切应力为
τmax＝Tδmax/It
（3）闭口薄壁杆件的自由扭转
闭口薄壁杆件：壁厚中线是一条封闭的折线或曲线。
对于横截面只有内外两个边界的单孔管状杆件，认为切应力沿厚度均匀分布。
剪力流f＝T/（2ω），其中ω是截面中线围成的面积。
最大切应力
τmax＝f/δmin＝T/（2ωδmin）
式中，δmin表示最小截面厚度。
对于壁厚不变的杆件，扭转角φ表示为
φ＝MelS/（4Gω2δ）
式中，截面中线长度S＝∮ds，Me为外力偶矩。4h7+KzNcyKY/5Y2bkIHYiJX3Ac8of2OR9eAfEEUW5Z/7NX9OySKePqJ0fuPdkRp0