工程力学中的扭转力学分析扭转力学是工程力学中的一个重要分支，研究物体在受到扭转力作用时产生的变形和应力分布。
在工程实践中，扭转力学的应用非常广泛，特别是在建筑、机械、航空航天等领域。
一、引言扭转力学研究的对象是物体在受到外界扭转力矩作用下的行为。
扭转力学涉及到以下几个关键概念：扭转角、扭转应变、扭转应力等。
二、基本原理与公式推导在扭转力学分析中，我们需要借助一些基本原理和公式来描述扭转的行为。
其中，最基本的原理是胡克定律，它表明物体在弹性阶段的扭转行为与受到的扭转力矩成正比。
公式推导过程如下：（1）胡克定律：θ = T / (G * J)其中，θ表示物体的扭转角，T表示扭转力矩，G表示切变模量，J 表示抗扭转性能指标。
（2）扭转应变：γ = θ * r / L其中，γ表示扭转应变，r表示被扭转物体的半径，L表示物体的长度。
（3）扭转应力：τ = G * γ其中，τ表示扭转应力。
三、典型扭转问题的分析在工程实践中，我们常常遇到一些典型的扭转问题，如轴材料的扭转分析、螺旋桨的扭转分析等。
下面以轴材料的扭转分析为例，介绍典型问题的求解过程：（1）问题描述：一根长度为L，半径为r的均质轴材料，在受到扭转力矩T作用下，求解轴的扭转角和轴的最大扭转应力。
（2）解答过程：首先，根据胡克定律可以得到轴的扭转角：θ = T / (G * J)，其中G 为轴材料的切变模量，J为轴的惯性矩。
然后，根据扭转应变公式可以得到轴的扭转应变：γ = θ * r / L。
最后，根据扭转应力公式可以得到轴的扭转应力：τ = G * γ。
四、工程应用示例扭转力学在工程中的应用非常广泛，例如在机械工程中，通过对扭转力学的分析，我们可以设计出更加合理的轴、齿轮等零件；在建筑工程中，我们可以通过扭转力学的分析，预测结构在风荷载下的变形和损伤等。
五、总结扭转力学是工程力学中的重要分支，研究物体在受到扭转力作用下的变形和应力分布。
第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。
此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。
同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。
2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。
若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。
3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。
扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。
如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。
扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。
(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=， 163D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(3244a D I p -=π， )1(1643απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
第9章扭转（6学时）教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计算。
教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。
教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。
教具：多媒体。
通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。
本章中给出了具体情形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，要求学生在学习和作业中体会。
教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法。
教学学时：6学时。
教学提纲：9.1 引言工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。
还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。
例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图9-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。
在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图9-2）。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。
图9-1图9-2本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时非圆截面杆进行简单介绍。
作为扭转问题的应用，介绍了圆柱形密圈螺旋弹簧应力及变形的计算。
9.2 动力传递与扭矩9.2.1 外力偶矩的计算轴扭转时的外力，通常用外力偶矩e M 表示。
但工程上许多受扭构件，如传动轴等，往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出轴所传递的功率和转速，这时可用下述方法计算作用于轴上的外力偶矩。
设某轴传递的功率为k P ，转速为n ，单位min r （每分钟转速），由理论力学可知，该轴的力偶矩e M 为ωke P M =其中，ω为该轴的角速度)s rad (，602n ⨯=πω。
若k P 的单位为千瓦)kw (，则nP M k e 9549≈ )m N (⋅ )19(- 若k P 的单位为马力)W 5.735hp 1(=，则nP M k e 7024≈ )m N (⋅ )29(- 应当指出，外界输入的主动力矩，其方向与轴的转向一致，而阻力矩的方向与轴的转向相反。
9.2.2 扭矩和扭矩图作用在轴上的外力偶矩e M 确定之后，即可用截面法研究其内力。
现以图9-3)(a 所示圆轴为例，假想地将圆轴沿n n -截面分成左、右两部分，保留左部分作为研究对象，图9-3)(b 。
由于整个轴是平衡的，所以左部分也处于平衡状态，这就要求截面n n -上的内力系必须归结为一个内力偶矩T ，且由左部分的平衡方程 0=-e M T 得 e M T =力偶矩T称为截面nn-上的扭矩，是左、右两部分在nn-截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。
扭矩的符号规定如下：若按右手螺旋法则，把T表示为双矢量，当双矢量方向与截面的外法线方向一致时，T为正，反之为负（图9-4）。
按照这一符号规定，图9-3)(b中所示扭矩T的符号为正。
当保留右部分时，图9-3)(c，所得扭矩的大小、符号将与按保留左部图9-3分计算结果相同，如图9-3。
补充知识：右手手心朝向转动轴并握住它，四指指尖与物体转动方向一致，伸开拇指，若拇指指向与转轴的正向一致，则力对轴的矩为正，反之，为负。
图9-4若作用于轴上的外力偶多于两个，也与拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，往往用图线来表示各横截面上的扭矩沿轴线变化的情况。
图中以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应横截面上的扭矩。
这种图线称为扭矩图。
图9-3)(d为图9-3)(a所示受扭圆轴的扭矩图。
例 传动轴如图9-5)(a 所示，主动轮A 输入功率hp 50=A P ，从动轮B 、C 、D 输出功率分别为hp 15==C B P P ，hp 20=D P ，轴的转速为m in r 300=n ，试画出轴的扭矩图。
解 按公式)29(-计算出作用于各轮上的外力偶矩。
m N 1170m N 300507024⋅=⋅⨯=eA M 图9-5 m N 351m N 300157024⋅=⋅⨯==eC eBM M m N 468m N 300207024⋅=⋅⨯=eD M 从受力情况看出，轴在BC 、CA 、AD 三段内，各截面上的扭矩是不相等的。
现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。
在BC 段内，以1T 表示1-1截面上的扭矩，并假设1T 的方向为正向，如图9-5)(b 所示。
由平衡方程01=+eB M T得 m N M T eB ⋅-=-=3511等号右边的负号说明，在图9-5)(b 中对1T 所假定的方向与1-1截面上的实际扭矩方向相反。
在BC 段内，各截面上的扭矩不变，皆为m N 351⋅-。
所以在这一段内扭矩图为一水平线，如图9-5)(e 。
在CA 段内，由图9-5)(c ，得02=++eB eC M M T m N 7022⋅-=--=eB eC M M T在AD 段内，由图4-5)(d ，得03=-eD M T m N 4683⋅==eD M T根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线变化的情况，用图9-5)(e 表示出来，就是扭矩图。
从图中看出，最大扭矩发生于CA 段内，且m N 702max ⋅=T对于同一根轴，若把主动轮A 安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将如图9-6所示。
这时，轴的最大扭矩是m N 1170max ⋅=T 。
可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。
两者相比，显然图3-5所示布局比较合理。
图9-6小结：本节课主要讲了扭转变形的概念，扭矩的计算方法，以及纯剪切的条件下的应变计算。
9.3 切应力互等定理与剪切胡克定律在讨论圆轴扭转的应力和变形之前，为了研究切应力和切应变的规律以及两者之间的关系，先考察薄壁圆筒的扭转。
所谓的薄壁圆筒，即是其平均半径r≥10δ的圆筒。
9.3.1 薄壁圆筒扭转时的切应力图9-7)(a 所示为一等厚薄壁圆筒,受扭前在表面上画上等间距的圆周线和纵向线。
实验结果表明，扭转变形后由于截面q q -对截面p p -的相对转动，使得圆周线和纵向线所形成的方格的左、右两边发生相对错动，但圆筒轴线及周线的长度都没有变化。
于是可设想，薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面只是绕圆筒轴线发生相对转动。
因此，圆筒横截面和包含轴的纵向截面上都没有正应力，横截面上各点只有切应力τ，且切应力的方向必与圆周相切。
圆筒两端截面之间相对转动的角度，称为相对扭转角，用俯Φ表示，图9-7)(b ，而圆筒表面上每个格子的直角都改变了相同的角度γ，图9-7)(b 、9-7)(c ，这种直角的改变量γ，称为切应变。
图9-7由相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等的现象，并根据材料是均匀连续的假设，可以推知，沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等，同时，由于筒壁的厚度δ很小，可以认为沿筒壁厚度切应力不变，图9-7)(c 。
这样，横截面上内力系组成与外加扭转力偶矩Me 相平衡的内力系。
由q q -截面以左的部分圆筒的平衡方程∑=0x M ，得 Me = 2πr τδrδπτ22r M e = )39(- 这里r 是圆筒的平均半径。
式)39(-是基于前面的假设而得到的近似公式，可以证明，当10r t ≤时，该公式足够精确，其误差不超过5%。
9.3.2 切应力互等定律用相邻的两个横截面和相邻的两个纵向平面，从薄壁圆筒中取出一个单元体，它在三个方向的尺寸分别为x d 、y d 和δ，将其放大为图9-7)(d 。
单元体的左右两侧面是薄壁圆筒横截面的一部分，所以在这两个侧面上，没有正应力，只有切应力。
这两个面上的切应力皆由式)39(-计算，数值相等，但方向相反，其力偶矩为x y d )d (⋅⋅⋅δτ。
因为单元体是平衡的，由∑=0x F 知，它的上、下两个侧面上存在大小相等、方向相反的切应力τ'，于是又组成力偶矩为y x d )d (⋅⋅⋅'δτ的力偶与上述力偶平衡。
这样，由单元体的平衡条件∑=0y M ，得=⋅⋅⋅x y t d )d (τy x t d )d (⋅⋅⋅'τ由此求得 ττ'= （3-4）式（3-4）表明，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。
这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。
9.3.3 切应变、剪切虎克定律在上述单元体的上下左右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种情况称为纯剪切。
纯剪切常用图9-8所示的平面图形表示。
薄壁圆筒扭转时，筒壁各处都处于纯剪切。
图9-8在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图9-7)(e ，原来相互垂直的两个棱边的夹角，改变了一个微量γ，这就是切应变。
由图9-7)(b 可以看出，若Φ为薄壁圆筒两端截面的相对转角，l 为圆筒的长度，则切应变应为l r Φγ=)(a 式中r 为薄壁圆筒的平均半径。
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。
实验结果表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限p τ时，扭转角Φ与扭转力偶矩e M 成正比。
由式)39(-和式)(a 可以看出, Φ与γ只相差一个比例常数，而e M 与τ也只差一个比例常数。
所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限p τ时，切应变γ与切应力τ成正比（图9-9）。
这就是材料的剪切虎克定律，可以写成γτG = )59(-式中G 为比例常数，称为材料的切变模量。
因为γ没有量纲，所以G 的量纲与τ的量纲相同，常用单位是GPa 。
钢的G 值约为80GPa 。
图9-9在讨论拉伸和压缩时，曾引进材料的两个弹性常数：弹性模量E 和泊松比μ。
现在又引进一个新的弹性常数：切变模量G 。
对各向同性材料，可以证明，三个弹性常数E 、G 、μ之间存在下列关系)1(2μ+=E G )69(- 可见，三个弹性常数中只要知道任意两个，另一个就可确定，即三个弹性常数中只有两个是独立的。