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1、有限元基本概念简介有限元基本概念简介一、有限元的基本概念一、有限元的基本概念 有限元方法的分类有限元方法的分类 有限元位移法的基本概念有限元位移法的基本概念依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为：依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为：位移法：以位移为基本未知量位移法：以位移为基本未知量力法：应力为基本未知量力法：应力为基本未知量混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量将连续的弹性体离散将连续的弹性体离散选择表示一个单元内连续位移的试函数，并根据选择表示一个单元内连续位移的试函数，并根据插值理论将单元内的位移用节点位移表征，也插值理论将单
2、元内的位移用节点位移表征，也可以说通过一定的分析，将试函数中的待定参可以说通过一定的分析，将试函数中的待定参数变为单元节点位移，显然如果求出节点位移数变为单元节点位移，显然如果求出节点位移就可以得到单元内部各点的位移进而求出单元就可以得到单元内部各点的位移进而求出单元内各点的应力及应变。内各点的应力及应变。 eeeKF KP eKK P 常见的单元类型常见的单元类型曲面四面体单元曲面四面体单元二十节点曲面六面体单元二十节点曲面六面体单元三角形截面三角形截面四边形截面四边形截面总结：位移有限元理论求解的基本思路总结：位移有限元理论求解的基本思路假设单元的位移函数；假设单元的位移函数；将单元内部位
3、移函数用节点位移表示；将单元内部位移函数用节点位移表示；将单元内形变用节点位移表示；将单元内形变用节点位移表示；将单元内应力用节点位移表示；将单元内应力用节点位移表示；应用李兹法求出单元刚度矩阵应用李兹法求出单元刚度矩阵单元内部各物理量用节点位移表示单元内部各物理量用节点位移表示利用节点力的平衡方程式得总刚度矩阵利用节点力的平衡方程式得总刚度矩阵利用虚功原理将单元内及边界上的分布利用虚功原理将单元内及边界上的分布 力等效至节点上。力等效至节点上。求解求解 设定单元位移函数时常使用的插值多项式设定单元位移函数时常使用的插值多项式插值函数使用的原因插值函数使用的原因用多项式在一些点上的已知函数值，
4、插值近似表示用多项式在一些点上的已知函数值，插值近似表示该多项的方法，称之为插值函数方法。该多项的方法，称之为插值函数方法。而常用代数多项式作为近似连续函数，称此多项式为而常用代数多项式作为近似连续函数，称此多项式为插值多项式。插值多项式。多项式插值方法的分类多项式插值方法的分类分两类：分两类：a.只要求插值多项式本身在插值点上取已知的函数值；只要求插值多项式本身在插值点上取已知的函数值；b. 不仅要求插值多项式本身在插值点上取已知的函数值；不仅要求插值多项式本身在插值点上取已知的函数值； 而且要求插值多项式在插值点上取已知的函数值导数值。而且要求插值多项式在插值点上取已知的函数值导数值。拉格
5、朗日插值拉格朗日插值埃尔米特插值埃尔米特插值拉格朗日的插值方法拉格朗日的插值方法为了避免求解为了避免求解n+1阶线性代数方程组的麻烦，阶线性代数方程组的麻烦，采用以下插值方法：采用以下插值方法：构造一个特殊的插值多项式：构造一个特殊的插值多项式： nn001122nniii 0LxNx uNx uNx uNx uNx u 其中：其中： iNx为为n次多项式次多项式 i1jiNxi, j0,1,2,n0ji 显然：此时满足条件：显然：此时满足条件： niiLxu 且且 的线性组合仍然是的线性组合仍然是n次多项式，可见次多项式，可见 就是要求的就是要求的 iiLx nLx iii0i1ii-1ii
6、+1inNx1C xxxxxxxxxx为保证为保证 条件成立，得：条件成立，得： i0i1ii-1ii+1in1C=xxxxxxxxxx 可令：可令： iNx 根据上述条件根据上述条件 i1jiNxi, j0,1,2,n0ji 01i-1i+1nC xxxxxxxxxx iNx 01i-1i+1ni0i1ii-1ii+1innjj 0ijj 1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 拉格朗日拉格朗日插值多项式插值多项式拉格朗日插值函数可表示为：拉格朗日插值函数可表示为： nn001122nniii 0LxNx uNx uNx uNx uNx u nnjni 0j 0ijj ixxLx
7、xx 艾尔米特插值艾尔米特插值拉格朗日插值的缺点：拉格朗日插值的缺点：插值函数在基点的导数要通过插值函数的表达式来进行插值函数在基点的导数要通过插值函数的表达式来进行计算，而一阶艾尔米特插值则把基点的导数直接取为插计算，而一阶艾尔米特插值则把基点的导数直接取为插值的条件。值的条件。设函数设函数 在在n个互不相同点个互不相同点 上的取值为：上的取值为： 导数取值为：导数取值为：u=f(x)12n-1nx , x ,x,x12n-1nu ,u ,u,u12n-1nu ,u ,u,u寻找一个插值多项式寻找一个插值多项式 使它在所有的插值点上均使它在所有的插值点上均满足：满足： 2n-1ii2n-1i
8、iPx=u ,Px=u ,i1,2,n 2n-1Px艾尔米特插值构造原理艾尔米特插值构造原理由于插值点上给定由于插值点上给定 共共2n个值，因此可以确定个值，因此可以确定2n-1多项式多项式 iif ( x ),f ( x )i1,2,n 2n-1P( x ),与拉格朗日多项式求解方法一样，可以用函数与拉格朗日多项式求解方法一样，可以用函数 u=f(x)在在n个基点上的值及导数值与个基点上的值及导数值与2n个多项式线性组合而成。个多项式线性组合而成。 nni2n-1iiiii 1i 1P( x )H ( x )uHxu ijijijiijjijH ( x )H ( x )0H ( x )0H
9、( x )其中：其中：ij1ij0ij nn222n-1iiiiiiiii 1i 1P( x )12WxxxWx ux-xWx u 经推导：经推导： 12i-1i+1nii1i2ii-1ii+1inxxxxxxxxxxWxxxxxxxxxxx 其中：其中：单元位移的一般表达形式：单元位移的一般表达形式： 选定单元的类型和位移函数之后，我们可将单元位移选定单元的类型和位移函数之后，我们可将单元位移表示为以单元节点位移为插值点的插值函数，并用矩阵表示表示为以单元节点位移为插值点的插值函数，并用矩阵表示之。之。单元中任意点的位移：单元中任意点的位移： eu = N其中：其中： N形函数形函数 e单元
10、节点位移单元节点位移弹性体位移有限元的基本表达弹性体位移有限元的基本表达关键问题有两个：位移函数的选取、单元刚度矩阵的求解关键问题有两个：位移函数的选取、单元刚度矩阵的求解 eB 12121200 x00yN00N0000zB0N00N0000N00Nyx0zy0zx 其中：其中：几何矩阵的一般表达形式：几何矩阵的一般表达形式：根据物理方程根据物理方程应力与应变的关系：应力与应变的关系： eDDB00 其中：其中： 0初应力向量；初应力向量；D材料的弹性矩阵；材料的弹性矩阵；刚度方程的基本表达形式刚度方程的基本表达形式推导思路推导思路写出用矩阵形式表达的弹性体单位体积总势能；写出用矩阵形式表达
11、的弹性体单位体积总势能；写出整个单元的总势能，进而得出整个结构总势能；写出整个单元的总势能，进而得出整个结构总势能；根据变分原理，总势能一阶变分根据变分原理，总势能一阶变分=0=0； 得出单元刚度矩阵得出单元刚度矩阵单元刚度矩阵求解的基本形式单元刚度矩阵求解的基本形式体积力体积力面积力面积力直接作用于节点集中力直接作用于节点集中力以及作用于单元上的集中力以及作用于单元上的集中力外部载荷向量的分析：外部载荷向量的分析：一般结构受到的力：一般结构受到的力：分别表示为：分别表示为： xyzxyz00 x0 y0zxyzFF F F,PP P P,RRRRGG G G 为此可采用下式表达力函数：为此可
12、采用下式表达力函数： F P 0R G体积应变能一般表达：体积应变能一般表达： 01U02D 单元的总势能一般表达：单元的总势能一般表达：0pe=UV pe102SDdF dP ds NG eee102eeeS=BDBdBdNF dNP dsNG M个单元的总势能：个单元的总势能： ppe0mR pe102SDdF dP ds NG e = N eB D0 考虑：考虑： 1p02mmee0S =BDB d(BdNF dNP ds)- R 根据变分原理，一阶变分等于零根据变分原理，一阶变分等于零pi0 结构总势能：结构总势能： 0m(Bd eeemSU=NF dNP ds)NG 0- R结构总的
13、力函数可表示为：结构总的力函数可表示为： m0ms0BDB d =BdNF dNP dsNGR 得到下列线性代数方程组：得到下列线性代数方程组： eKBDB d 单元的总刚度矩阵由单元刚度矩阵组成：单元的总刚度矩阵由单元刚度矩阵组成： e0sRBdNF dNP dsNG 等效节点力：等效节点力：单元初始应力对应的等效节点力单元初始应力对应的等效节点力体积力引起的等效节点体积力引起的等效节点力力面积力引起的等效节点力面积力引起的等效节点力 eF eP eQ集中引起的等效节点力集中引起的等效节点力 eG上述结构一阶变分上述结构一阶变分=0得到的线性代数方程组又可表示为：得到的线性代数方程组又可表示
14、为： ee0mmKRR其中等效节点力：其中等效节点力： eeeeeRQFPG e0QBd eFNF d esPNP ds eGNG 对于集中作用外力我们可详细的将其分成两种：对于集中作用外力我们可详细的将其分成两种： 直接作用于直接作用于节点上的外力节点上的外力,可在方程中加入该力可在方程中加入该力 作用于单元内部的外力作用于单元内部的外力此时我们也要求出其此时我们也要求出其 相应的等效节点力，该等效力具有单元的意义。相应的等效节点力，该等效力具有单元的意义。值得注意的是：值得注意的是： 节点力的等效处理过程中：我们使用了形函节点力的等效处理过程中：我们使用了形函数，由于形函数是我们假设的近似
15、函数，所数，由于形函数是我们假设的近似函数，所以等效的过程是一个近似计算的过程。以等效的过程是一个近似计算的过程。边界条件的处理边界条件的处理 ee0mmKRR边界条件处理的必要性：边界条件处理的必要性：总刚度矩阵为奇异矩阵，要将边界的条件代入消除总刚度矩阵为奇异矩阵，要将边界的条件代入消除奇异性。奇异性。从位移边界而言一般有几种类型的边界条件：从位移边界而言一般有几种类型的边界条件：指定某些节点具有不变的确定性位移；指定某些节点具有不变的确定性位移；某些点上的位移某些点上的位移=零零某节点为弹性边界某节点为弹性边界节点的反力与节点位移具有线性节点的反力与节点位移具有线性 或非线性的关系。或非
16、线性的关系。数学处理上一般采用的数学手段：数学处理上一般采用的数学手段： ee0mmKRR11121n1121222n22nnn1n2nnKKKRKKKRRKKK 当某一位移等于零时，如当某一位移等于零时，如20 11121i1n11222i2n221212iiiiniiinnnnKKKKRKKKRDK10KDK10KR 当某一位移为指定位移时，如当某一位移为指定位移时，如 可采用乘大数方法可采用乘大数方法iiD 当某一点弹性支持时，可采用直接修正对应节点所在行当某一点弹性支持时，可采用直接修正对应节点所在行 的对角线上的刚度系数方法。的对角线上的刚度系数方法。如在如在i节点上有弹性约束：对应
17、支座反力与位移的关系为：节点上有弹性约束：对应支座反力与位移的关系为：iikR 11121i1n11222i2n22iiiniinnnnKKKKRKKKRKKRKR iiki空间梁单元的节点位移、节点力、空间梁单元的节点位移、节点力、 位移函数、及刚度矩阵。位移函数、及刚度矩阵。（1 1）空间杆单元）空间杆单元单元位移：单元位移：u表征杆件应变的物理量为表征杆件应变的物理量为xux 节点位移个数：每个节点节点位移个数：每个节点6个位移个数，个位移个数，节点力的个数：每个节点节点力的个数：每个节点6个节点力。个节点力。两节点单元共有两节点单元共有12个自由度个自由度 eEA0l000KEAEA0
18、0ll000000 （2 2）空间梁单元）空间梁单元空间梁单元的位移：空间梁单元的位移：u,v,w,位移函数的选取：位移函数的选取：1223345623789101112u x,v x x xw x x x x 且且xyzddxdwdxdvdx 12个待定参数，利用节点位移进行插值求解个待定参数，利用节点位移进行插值求解1i2j3i4zi5j6zj7i8yi9j10yj11xi12xjuN uN u ,vN vN N vN wN wN N wN N N edN 123456345612N00000N000000 N000N0N000NN00N0N000N0N0000N00000N0012232
19、334232232356232xxN1Nll3x2x2xxN1Nxllll3x2xxxNNllll 表征其变形的几何方程特性的物理量：表征其变形的几何方程特性的物理量： x22x22yzkdud vd w dk,kdxdxdxdxk ekB 123456345612N00000N000000N000N0N000NB00N0N000N0 N0000N00000N00单元刚度矩阵：单元刚度矩阵： ee1112212212 12kkkkk 不考虑横向剪切影响：不考虑横向剪切影响：Z3y3k113yy2zz2EAl12EI0l12EI00lGJk000l6EI4EI000ll6EI4EI0000ll
20、Z3y3k123yy2zz2EAl12EI0l12EI00lGJk000l6EI2EI000ll6EI2EI0000ll Z3y3k223yy2zz2EAl12EI0l12EI00lGJk000l6EI4EI000ll6EI4EI0000ll （3 3）平面问题的有限元）平面问题的有限元v节点位移与节点力节点位移与节点力 mmjjiimjieuuuuvu oyxmijvmumvjujviuiv 位移函数位移函数 123u x,yxy 456,v x yxy 2 12 66 1dH vud yxyxH10000001 123456T 123iiiuxy 123jjjuxy123mmmuxy 45
21、6iiivxy 456jjjvxy 456mmmvxy式中：式中：将三节点将三节点i,j,mi,j,m坐标代入（坐标代入（1 1）式）式：将单元内部位移用节点位移表示之将单元内部位移用节点位移表示之 2 16 12 6d? 广义坐标系广义坐标系 654321100000011000000110000001 mmmmjjjjiiiimmjjiiyxyxxxyxyxyxvuvuvu 666161eA eA 1 mjimjimjimjimjimjicccbbbaaacccbbbaaaA000000000000000000211简记为：简记为：其中：其中：（3）位移矩阵位移矩阵jmmjiyxyxa m
22、jiyyb jmixxc miimjyxyxa imjyyb mijxxc ijjimyxyxa jimyyb ijmxxc mmjjiiyxyxyx11121 16 12 62 16 1eeHAdN 00010002iiijjjmmmiiijjjmmma bx cyabx c yab x c yNa bx cyabx c yab x c y 为三角形为三角形i,j,mi,j,m面积面积（4）得得ijmN NN 2 62 16 1jjiimmN NdN 节点位移与插值函数的乘积之和节点位移与插值函数的乘积之和 jji2 62i16 1mmNNdN jiiim1j3mi=iN2 1NNNd eN
23、 N 形函数矩阵或位移矩阵形函数矩阵或位移矩阵v单元应变单元应变 ( 几何矩阵几何矩阵 ）xyxyuxvyvuxy 3 13 66 1eB mmjjiimjimjibcbcbccccbbbB00000021用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：或：或：式中：式中：几何矩阵几何矩阵用节点位移表达的单元应用节点位移表达的单元应变变iiijmjijmjiijjmmmmuvb0b0b0u10c0c0cv2cbcbcbuu 3 13 33 63 66 16 1eeDBS D v单元应变（用节点位移表示的单元应力）单元应变（用节点位移表示的单元
24、应力）根据虎克定律的矩阵表示式根据虎克定律的矩阵表示式 3 13 66 1eB 221111111222222iijjmmiijjmmiijjmmbcbcbcESbcbcbc()cbcbcb ijmSS S S 应力矩阵应力矩阵 210ED1011 v单元刚度矩阵（单元刚度矩阵（表示节点位移与节点力关系矩阵）表示节点位移与节点力关系矩阵）求解单元刚度矩阵的方法：虚功原理求解单元刚度矩阵的方法：虚功原理 eeeKF eTeeFW eB TeVtdxdy e eVWe 基本公式：基本公式：给节点虚位移：给节点虚位移： e 真实应变：真实应变： eB 即：即：节点力在虚位移上所作的虚功节点力在虚位移
25、上所作的虚功 =虚位移引起单元内部的虚应变能虚位移引起单元内部的虚应变能单元上真实的节点位移：单元上真实的节点位移：真实应力：真实应力： eDB 相应的虚应变：相应的虚应变：节点力在虚位移上所作的虚功：节点力在虚位移上所作的虚功：虚位移引起单元内部的虚应变能虚位移引起单元内部的虚应变能eVWe TeeF TTeeBDBtdxdy TTeeBDBtdxdy 进行比较得：进行比较得： TTeKt BDBdxdytBDB mjismjirbbcccbbcbccbccbbEtKsrsrsrsrsrsrsrsrrs,21212121)1(42 式中式中单元刚度矩阵：单元刚度矩阵： eK TeeeeFBD
26、BtdxdyK 将将BB、DD代入上式：代入上式：iiijimejijjjmmimjmmKKKKKKKKKK 分割子矩阵分割子矩阵TrssrKK iijjKK 、对称、奇异、稀疏矩阵对称、奇异、稀疏矩阵8-5 结构刚度矩阵结构刚度矩阵 本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平衡式，包括结构刚度矩阵的建立。衡式，包括结构刚度矩阵的建立。取出节点取出节点i i，列出，列出x,yx,y方向力方向力 的平衡方程式：的平衡方程式：1212()()xiixixi()()yiiyiyiFFFXFFFY iiPF (1)(2)(1)(2)iiXiY1()yiF2
27、()yiF2()xiF1( )xiFmmjjmnniiiYiXxiF yiF 该结构共有两个单元，外力只作用于该结构共有两个单元，外力只作用于i节点之上。节点之上。对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。其形式如下：其形式如下： FP iF 外力列阵，每一个节点有外力列阵，每一个节点有2行。行。 应包括：直接作用在节点上的外力、支座反力应包括：直接作用在节点上的外力、支座反力 及等效节点力。及等效节点力。 P各单元因节点发生可能位移各单元因
28、节点发生可能位移而产生的节点力之合。而产生的节点力之合。可由各单元刚度矩阵依对号入座方式可由各单元刚度矩阵依对号入座方式形成形成其中：其中： nininnnjnninijiinjnjpPPPKKKKKKKKKKKKKKKK21212121222221111211 式中式中KKijij 为单元刚度阵的子矩阵为单元刚度阵的子矩阵，上式可简记为：上式可简记为： PKnnnn121222 K K 结构总刚度矩阵结构总刚度矩阵具有具有n个节点的结构个节点的结构,总节点力平衡方程式为：总节点力平衡方程式为：注意：总刚度矩阵具有与上章所述相同的性质。注意：总刚度矩阵具有与上章所述相同的性质。 对称性、稀疏性
29、、奇异性。对称性、稀疏性、奇异性。 行列个数行列个数2n 8-6 外载荷处理外载荷处理v单元中分布力的移置单元中分布力的移置单元上受到的体积力与面积力等效到节点上力的计算单元上受到的体积力与面积力等效到节点上力的计算（1 1）单元上体积力的等效计算）单元上体积力的等效计算 计算原则虚功原理。当两个力系在同一个可能发生的虚计算原则虚功原理。当两个力系在同一个可能发生的虚 位移上所做的虚功相等时，这两个力系静力等效。位移上所做的虚功相等时，这两个力系静力等效。设：设：三角形平面单元受均匀分布力，其合力三角形平面单元受均匀分布力，其合力Q Q作用于形心处作用于形心处mPjPiP1i Txiyixjy
30、jxmymPP P P P P P ePWW 131 iPQ3ijmQPPP Q 100TTTeeijmAAijAmiAWdqdxdyqN NNdxdyNqqN dxNdxdyNdy 100iTePjimPWPPPP ixiciyicb Sbxc Scy 01021223iiiiiiAiiiiixiyA(ab xc y )qdxdy(ab xc y )qq(ab xc y ) dxdy(ab Sc S )Q eD B edN eidNN 100TTeijm 外力作用下：外力作用下：给节点给节点i单位的虚位移：单位的虚位移：有：有： iP iAqN dxdy 单元位移函数及位移函数的选取单元位移
31、函数及位移函数的选取单元位移函数坐标系单元位移函数坐标系两种坐标系：自然坐标系、广义坐标系两种坐标系：自然坐标系、广义坐标系22n123456m2nm 1m 2m 3m 4m 52mu( x, y )xyxxyyyv( x, y )xyxxyy 0uuv0 22n1232m1xyxxyyy 2232234322341xyxxyyxx yxyyxx yx yx yy e12nu uu n1122nniii 1n1122nniii 1u( x, y )N uN uN uN uv( x, y )N vN vN vN v euuNv 12nNNNN 单元位移函数收敛必须满足的三个条件单元位移函数收敛必
32、须满足的三个条件连续性连续性相邻单元无分离、无重叠相邻单元无分离、无重叠完整性完整性位移函数含有：常位移项及位移函数含有：常位移项及 常应变项常应变项几何各向同性几何各向同性单元位移函数不因坐标变化而发生改变单元位移函数不因坐标变化而发生改变也就是保持对坐标的对称性。也就是保持对坐标的对称性。协调元与完备元的概念协调元与完备元的概念 123u x,yxy 456,v x yxy 三角形单元是什么类型的单元？三角形单元是什么类型的单元？(1)(2)iiYjmniXijmp矩形单元的位移函数矩形单元的位移函数 12345678u x,yxyxyv(x,y)xyxy T12345678 jmmppj
33、iii4=1iiNN2N1NNd eB 3 13 68 1 eeDBS 3 13 33 83 88 18 1 TTeKt BDBdxdytBDB 将将BB、DD代入上式：代入上式：iiijimipejijjjmjpmjmmmpmipipjpmppKKKKKKKKKKKKKKKKK ijmp单元类型的讨论单元类型的讨论局部坐标转换问题与协调性问题局部坐标转换问题与协调性问题（3 3）薄板小挠度弯曲问题）薄板小挠度弯曲问题薄板弯曲问题的位移：薄板弯曲问题的位移： wzxuwdvzyww( x, y ) 与空间问题不同，表征单元内部一点位移的物理量与空间问题不同，表征单元内部一点位移的物理量与另外位
34、移的一阶导数相关。与另外位移的一阶导数相关。薄板小挠度弯曲问题的基本假定条件：薄板小挠度弯曲问题的基本假定条件：弯曲后板的中面保持无应力状态，即无面内应力。弯曲后板的中面保持无应力状态，即无面内应力。弯曲板满足直法线假定条件。弯曲板满足直法线假定条件。挤压应力引起的变形可略去不计。挤压应力引起的变形可略去不计。3.1 弹性的基本理论弹性的基本理论 22x2222y2222xyuwwzxxxvwwzzz yyyvvww2z2xyx yx y 形变为：形变为：一般我们可以看到一般我们可以看到 表征弯曲板形变特征的矢量表征弯曲板形变特征的矢量 应力：应力： 22x2y22xywxwD = z Dz
35、Dyw2x y 210ED1011-002 如图如图:建立坐标系建立坐标系oxztab yMxMxyMyxMyNxNijkm应力在薄板的横截面上合力应力在薄板的横截面上合力 t2x2t-22tx3232yy2t-22xyt2xyt-2 zdzwxMtwtMM zdzDD12y12Mw2x y zdz 312zMt 应力可以通过先求内力矩得到应力可以通过先求内力矩得到称其为内力矩矢量称其为内力矩矢量薄板有限元的基本概念薄板有限元的基本概念单元位移函单元位移函数数 小挠度弯曲薄板的应力、应变、以及位移均与挠小挠度弯曲薄板的应力、应变、以及位移均与挠度函数的二阶导数相关。如果在构造位移函数时，度函数
36、的二阶导数相关。如果在构造位移函数时，要求函数不仅在单元内部并且在相邻单元的边界上要求函数不仅在单元内部并且在相邻单元的边界上均要满足挠度位移函数及其一阶导数连续的条件，均要满足挠度位移函数及其一阶导数连续的条件，难度是非常大的，所以对于本问题的单元位移函数难度是非常大的，所以对于本问题的单元位移函数具有以下特点：具有以下特点：仅满足位移函数的完备性、几何同向性仅满足位移函数的完备性、几何同向性而不满足在相邻边界上位移的连续性。而不满足在相邻边界上位移的连续性。对应的单元为非协调元对应的单元为非协调元位移函数的特点：位移函数的特点：三角形板单元：三角形板单元：9个个矩形板单元：矩形板单元：12
37、个个当单元边长选取足够小时，这两种单元可以用于求解当单元边长选取足够小时，这两种单元可以用于求解薄壳问题。薄壳问题。每个节点每个节点3个个常用的薄板单元形式：常用的薄板单元形式：三角形板单元、矩形板单元三角形板单元、矩形板单元节点自由度：节点自由度： ixiyiNFMM iiixiiyiiwwwywx 一个三角形单元的一个三角形单元的 节点位移矩阵与节点力矩阵：节点位移矩阵与节点力矩阵： ：一个矩形单元的一个矩形单元的 节点位移矩阵与节点力矩阵：节点位移矩阵与节点力矩阵： iej12 1mpFFFFF iej12 1mp iej9 1mFFFF iej9 1m 矩形弯曲单元的位移函数：矩形弯曲
38、单元的位移函数：22312345672233389101112w( x, y )xyxxyyxx yxyyx y+xy 22312312wHH1xyxxyyxy 讨论：所选位移函数的特点讨论：所选位移函数的特点 位移矩阵位移矩阵形函数的求解形函数的求解 eA 12 1212 112 1 1eA 1ewHA 非协调元非协调元 1eewHAN 将节点坐标即对应节点位移代入可出系数将节点坐标即对应节点位移代入可出系数 1212 , ,可整理得到可整理得到ww的插值函数以及形函数的插值函数以及形函数 iiixi xiyi yjjjxjxjyj ymjmxmxmym ypppxpxpyp yii4eji
39、ixiyi xijmpi 1mi ykw( x, y )N wN N N wN N N wNNN wN N wNNNNNNNN 单元内部挠度位移：单元内部挠度位移： e1ee12 112 1212 11eAwHANA 矩形板矩形板的几何矩阵的几何矩阵 222222222ee222222wxxxwwNByyyw222x yx yx y 矩形板矩形板的内力矩阵的内力矩阵 xeeyxyMMMDBSM 内力矩阵内力矩阵xyxyEzwwxyEzwwyxEzwx y 22222222222111 xyxywwMDxywwMDyxwMDx y 2222222221 eeMDDBS xyyxMMMM 2100
40、010111223 EtD应力矩阵或内力矩阵：应力矩阵或内力矩阵： ijmpSS S SS ijmpSSSSS xxxx11112222yyyyx111i2222xyxyxyxyxyxyxyxyDDD2DD4DD2D66000060abbaaabbD4DD2D2DD4DDS66000060babaaabb2D2D2D2D2D2D2D2D0000abababaababb xxxx11112222yyyy1111j2222xyxyxyxyxyxyxyxyD2DD4DD4DD2D60660000aaabbabbD4DD2DD2DD4DS60660000aabababb2D2D2D2D2D2D2D2D
41、0000abaabababbab xxxx11112222yyyyx111m2222xyxyxyxyxyxyxyxyD4DD2DD2DD4D00060660bbabbaaaD2DD4D2DD4DDS00060660bbbabaaa2D2D2D2D2D2D2D2D0000ababbabababaxxxx11112222yyyyx111k2222xyxyxyxyxyxyxyxyD2DD4DD2DD4D60000606bbaaabbaD2DD4D2DDD4DS60000606bbaababa2D2D2D2D2D2D2D2D0000abbababaabab 单元刚度矩阵单元刚度矩阵 eeeKF eTe
42、eFW z TeVtdxdy e eVWe 基本公式：基本公式：给节点虚位移：给节点虚位移： e 真实应变：真实应变： z 即：即：节点力在虚位移上所作的虚功节点力在虚位移上所作的虚功 =虚位移引起单元内部的虚应变能虚位移引起单元内部的虚应变能单元上真实的节点位移：单元上真实的节点位移：真实应力：真实应力： 相应的虚应变：相应的虚应变：节点力在虚位移上所作的虚功：节点力在虚位移上所作的虚功：虚位移引起单元内部的虚应变能：虚位移引起单元内部的虚应变能：eVWe TeeF TTeeBDBtdxdy Tzdxdydz t / 2t / 2zdzM TAM dxdy 推导：推导：单元刚度矩阵单元刚度矩
43、阵 eKBDB d eiiijimipjijjjmjpemimjmmmppipjpmppkkkkkkkkKkkkkkkkk （4 4）空间四面体单元）空间四面体单元一边描述空间实体位移为三个量：在一边描述空间实体位移为三个量：在x、y、z方向方向上的线位移。上的线位移。单元的节点自由度：除了将位移单元的节点自由度：除了将位移u、v、w外。有时外。有时还可以将位移对坐标的偏导数也取为节点的自由度，还可以将位移对坐标的偏导数也取为节点的自由度，这样可以增加节点自由度，提高插值位移函数的精度。这样可以增加节点自由度，提高插值位移函数的精度。u,v,w,uuuvvvwww,xyzxyzxyz 所以对于
44、空间四面体单元：可以有自由度数为所以对于空间四面体单元：可以有自由度数为12、48空间六面体单元：可以有自由度数为空间六面体单元：可以有自由度数为24、96每个节点自由度每个节点自由度3个或个或12个。个。1234 111u ,v ,w 222u ,v ,w 333u ,v ,w 444u ,v ,w 2x2 y2zF,F,F 3x3 y3zF,F,F 4x4 y4zF,F,F 1x1y1zF,F ,Fxyz1212自由度四面体的节点位移：自由度四面体的节点位移： 1i1e211ii31i4uuvvww位移函数：位移函数：123456789101112u x y zv x y zw x y z
45、 eudvNw其中其中: i12343 12ii 1iiiiii3 3iNNNNNN00N0N0N1ab xc yd z / 6V00N 22222133313344444xyz1yzaxyzb1yzxyz1yz i=1,2,3,41112223334441xyz1xyz1V6 1xyz1xyz 形变为常形变形变为常形变222213313344441xz1xyc1xzd1xy1xz1xy 几何矩阵：几何矩阵： ee6 16 1212 1B 其中其中:iiii6 3iiiiiib000c000d1Bd6Vcb00dcd0b 12346 12BBBBB xy1ez212346 12xy34yzzx
46、BBBBB 形变为常形形变为常形变变物理方程：物理方程： 6 610001 110001001000E 112D001122 11202 1122 1 对称对称 ee6 16 66 66 66 1212 16 1212 1DDBS 应力：应力：单元刚度矩阵单元刚度矩阵 e6 1212 1212 66 6KBDBd 11121314e2122232412 123132333441424344KKKKKKKKKKKKKKKKK ee11121314111eee2122232422212 123333132333444441424344KKKKFKKKKFFKFKKKKFKKKK e( e )rsr
47、sKBDBd 分割自矩阵形式分割自矩阵形式 ( e )rsrseKBDB rs2rsrs1rs2rs1rs2rs( e )rs1rs2rsrs2rsrs1rs2rse1rs2rs1rs2rsrs2rsrs12b bAc cd dA b cA c bA b dA d bE 1KA c bA b cc cAb bd dA c dA d c36 112 A b dA d bA d cA c dd dAb bc cr,s1,2,3,412AA12 1 有限元在组合结构有限元在组合结构船体的应用船体的应用1、船舶结构有限元计算的主要结构形式、船舶结构有限元计算的主要结构形式单纯的杆系结构单纯的杆系结构局
48、部板架结构局部板架结构平面板架结构平面板架结构 甲板板架甲板板架 船底板架船底板架 舷侧板架结构舷侧板架结构 船底板架结构船底板架结构刚架结构空间梁结构刚架结构空间梁结构空间梁结构空间梁结构空间板、梁结构空间板、梁结构全船板、梁结构全船板、梁结构2、一般结构的单元选择与网格划分的原则、一般结构的单元选择与网格划分的原则依据结构受力的特点以及考虑问题的出发点不同依据结构受力的特点以及考虑问题的出发点不同来进行选取。来进行选取。网格划分依据应力分布的突变程度进行划分。网格划分依据应力分布的突变程度进行划分。建立的有限元模型必须是稳定的结构。建立的有限元模型必须是稳定的结构。3、边界条件处理、边界条件处理满足结构不能出现刚体位移；满足结构不能出现刚体位移；局部结构计算是选取模型简化的区域足够大，以至局部结构计算是选取模型简化的区域足够大，以至边界的约束对结构计算结果不会产生过大的影响。边界的约束对结构计算结果不会产生过大的影响。对称性的使用；对称性的使用；能够较真实地反映实际约束状态能够较真实地反映实际约束状态4、作用的外力简化问题、作用的外力简化问题应尽量与实际情况接近，并依据所选单元的应尽量与实际情况接近，并依据所选单元的特点加以简化特点加以简化不稳定的结构不稳定的结构稳定的结构稳定的结构三维梁单元及壳体单元三维梁单元及壳体单元平面单元平面单元梁单元梁单元单
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