王 军，卢朝辉，张玄一，赵衍刚,2
(1. 北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室，北京 100124；2. 神奈川大学工学部，日本，横滨 221-8686)
相比传统的有砟轨道结构，无砟轨道结构具有高平顺性、高耐久性、少维修的优点，已成为高速铁路轨道建设的首选结构型式[1-2]。CRTS II型板式无砟轨道结构作为主要的无砟轨道结构型式之一，广泛应用于京津、京沪、沪昆等高铁线路。CRTS II 型板式无砟轨道结构主要由钢轨、扣件、轨道板、水泥乳化沥青(CA)砂浆层和底座板(支承层)等组成，其中，桥上CRTS II 型板式无砟轨道结构示意图如图1 所示。CRTS II 型板式无砟轨道结构为竖向多层的纵连结构体系，各结构层间的界面是轨道结构最薄弱的部分之一，尤其是轨道板(底座板)与CA 砂浆层之间的界面。现场调研表明，在长期温度和列车荷载作用下，CRTS II 型轨道板与CA 砂浆层间经常发生离缝病害[3-5]，如图2 所示。
图1 桥上CRTS II 板式无砟轨道结构Fig. 1 CRTS II slab ballastless track structure on bridge
图2 轨道板与CA 砂浆层离缝Fig. 2 Gap between track slab and CA mortar layer
目前，轨道板与CA 砂浆层间离缝分析大部分基于断裂力学与损伤力学原理，采用的主要分析方法有近场动力学、扩展有限元、内聚力模型和断裂相场法等[6-9]。近场动力学基于非局部作用思想研究裂纹的萌生和发展，无法精确描述断裂的本构力函数，并且计算精度和效率低于传统有限元方法；扩展有限元可以模拟任意方向的裂纹扩展，对有限元网格改动较少，但需要在单元形状函数中增添附加函数，有限元计算成本较高；断裂相场法无须追踪裂纹表面，易于处理复杂的裂纹扩展问题，但能量泛函求解复杂。而基于能量准则的内聚力模型，通过作用在裂纹表面的张力与张开位移的等效关系来描述特定路径裂纹萌生、扩张和断裂的全过程。内聚力模型属于非强度因子主导型断裂准则，避免了计算断裂力学的复杂性。
有关内聚力本构理论，国内外学者开展了相关研究。自Barenblatt[10]和Dugdale[11]首次提出内聚力概念以来，国内外学者提出了多种内聚力模型，就拉力-位移曲线的形状而言，主要有双线性、指数型、梯形和多项式型等。其中，针对双线性和指数型内聚力模型，有关学者开展了一系列研究。Mi 等[12]通过研究纤维复合材料界面拉力-位移关系，提出双线性内聚力模型。Camanho等[13]完善了双线性内聚力模型，并应用于零厚度粘结单元。与此同时，Rose 等[14]通过分析金属界面断裂能和分离位移的普遍关系，提出指数型内聚力模型。针对金属晶体排列的周期性，Rice[15]在切向上提出正弦内聚本构关系。之后，Xu 和Needleman[16]基于塑性流动理论，提出耦合的指数型内聚力模型，完善了指数型内聚力模型理论。van den Bosch 等[17]改善了指数型内聚力模型，使之更好地描述混合模式下界面的脱粘过程。此外，还有学者提出并发展了梯形[18-19]，多项式[20-21]等内聚力模型。其中指数型内聚力模型可表征非线性黏聚特性，相比双线性内聚力模型，指数型内聚力模型拉力-位移曲线及导数具有连续性，使其在数学求导及有限元实现方面具有一定优势。
由于内聚力模型主要用于模拟复合材料层间脱粘行为，CRTS II 型板式无砟轨道作为多层复合结构，国内学者开始将内聚力模型用于CRTS II型板式无砟轨道层间离缝研究。有学者借助数字图像相关技术，对无砟轨道界面刚度、强度、韧性等性能进行了测试，确定了双线性内聚力模型[22 - 23]和指数型内聚力模型[24]参数，为研究无砟轨道离缝机理提供了重要的数据支撑。也有学者通过有限元方法，采用双线性内聚力模型[25-28]、指数型内聚力模型[29]和多项式内聚力模型[30]等研究在温度和列车荷载作用下轨道板和CA 砂浆离缝过程。既有研究均采用单一内聚力模型对层间界面粘结试验数据进行分析，鲜有采用不同内聚力模型对层间界面脱粘预测效果进行对比分析。
本文基于内聚力本构理论和试验数据，分别采用双线性和指数型内聚力模型对CRTS Ⅱ 型轨道板与CA 砂浆层间离缝进行预测。针对双线性和指数型模型存在的不足，提出了一种改进的指数型内聚力模型，并通过拟合既有试验数据，确定了改进指数型内聚力模型的主要参数。分析了不同模型对层间粘结的预测结果，验证了本文所提内聚力模型模拟轨道板与CA 砂浆层间离缝的合理性与适用性。
内聚力模型属于一种唯象本构模型，其拉力-位移曲线有多种形式，其中双线性和指数型应用最为广泛。
Hillerborg 等[31]初次引入关于混凝土断裂能和抗拉强度的线性软化模型，之后双线性模型被用于混凝土断裂研究；Camanho 等[13]基于连续损伤力学提出了双线性内聚力模型。如图3 所示，单一模式下，双线性内聚力模型的拉力-位移关系为：
图3 双线性内聚力模型Fig. 3 Bilinear cohesive zone model (CZM)
双线性内聚力模型的拉力-位移曲线上升段和下降段均为直线型。上升段的斜率表示界面的初始刚度，为一定值；界面损伤萌生后，界面刚度随着界面相对位移增加而减小，直至界面完全断开。双线性内聚力模型具有形式简洁、便于应用的特点，比较适用于研究脆性材料界面断裂行为[32]。
Xu 和Needleman[16]为解释复合晶体材料孔隙成核、界面脱粘现象，提出了耦合的指数内聚力模型。该指数型内聚力模型的二维形式可以表示为：
界面法向和切向拉力可以通过势函数(7)对界面法向和切向相对位移求偏导得到：
则单一模式下，指数型内聚力模型的拉力-位移关系如图4 所示。
图4 指数型内聚力模型Fig. 4 Exponential CZM
指数型内聚力模型的拉力-位移曲线的上升段和下降段均为幂指数函数。随界面损伤的发展，界面刚度发生连续性变化，拉力-位移曲线的非线性衰减能合理描述界面刚度的软化过程[33]。
分别采用双线性内聚力模型和指数型内聚力模型对文献[23]中的轨道板与砂浆界面试验数据进行拟合，拟合方法选取最小二乘法，结果如图5 所示。
图5 双线性和指数型内聚力模型对比Fig. 5 Comparison of bilinear and exponential CZMs
由图5 可知，由双线性内聚力模型拟合界面法向开裂试验数据，得到界面法向内聚强度为1.792 MPa 及其对应的界面相对位移为2.5 μm，界面法向刚度为716.8 MPa/mm，界面法向临界断裂能为25.24 J/m2。由指数型内聚力模型拟合试验数据，得到界面法向临界断裂能为12.2 J/m2，远小于双线性内聚力模型计算值。这主要与指数型内聚力模型拉力-位移曲线下降段衰减速率过快有关。
由双线性内聚力模型拟合界面切向开裂试验数据，得到界面切向内聚强度为0.956 MPa 及其对应的界面相对位移为15.2 μm，界面切向刚度为62.9 MPa/mm，界面切向临界断裂能为17.96 J/m2。由指数型内聚力模型拟合试验数据，得到界面切向临界断裂能为16.4 J/m2，大于双线性内聚力模型计算值，且损伤萌生时界面的相对位移较双线性模型小。这主要由指数型内聚力模型拉力-位移曲线上升段增加速率过快导致。
在复杂的荷载作用下，为了合理阐述轨道板与CA 砂浆界面离缝机理，内聚力模型的选择较为关键。虽然混凝土属于准脆性材料，但在宏观断裂过程中应力和应变具有非线性的相互依赖关系[34]，并且无砟轨道结构在温度和列车荷载作用下，层间界面受力较为复杂。双线性内聚力模型可能无法准确描述无砟轨道结构层间损伤行为，而指数型内聚力模型可以表征层间损伤过程中界面刚度的连续性，但指数型拉力-位移曲线的上升段和下降段的增加和衰减速率无法有效控制。所以在既有内聚力模型基础上，有必要发展指数型内聚力模型，以符合轨道板与CA 砂浆层间界面损伤萌生和发展过程。
在上述内聚力模型的基础上，本文提出了改进的指数型内聚力模型，用来描述轨道板与CA 砂浆层间界面的宏观断裂行为。宏观断裂行为需要满足以下断裂边界条件：
图6 改进指数型内聚力模型Fig. 6 Improved exponential cohesive zone model
在单一模式下，改进的指数型内聚力模型法向和切向下降段分别采用指数形式，通过引入指数系数，可改变下降段曲线衰减速率。且指数形式可以表征界面拉力和界面相对位移之间的非线性关系。
采用改进指数型内聚力模型对文献[23]的轨道板与砂浆界面试验数据进行拟合，结果见图7。采用最小二乘法分别拟合上升段和下降段试验数据，确定改进指数型内聚力模型的系数，进而可以得到界面内聚力模型参数，即：界面内聚强度、损伤萌生时界面相对位移和界面临界断裂能。
图7 本文所提模型拟合结果Fig. 7 Fitting results of the proposed model in this paper
在界面法向，由拟合结果可以得到改进指数型内聚力模型上升段刚度为716.8 MPa/mm，下降段系数nn2为0.6429。得到界面法向内聚强度为1.792 MPa 及损伤萌生时界面相对位移为2.5 μm，界面法向临界断裂能为22.54 J/m2。在界面切向，由拟合结果可以得到改进指数型内聚力模型上升段系数nt1为1.934，下降段系数nt2为1.822。得到界面切向内聚强度为0.956 MPa 及损伤萌生时界面相对位移为15.2 μm，界面切向临界断裂能为18.7 J/m2。
为验证改进指数型内聚力模型模拟轨道板与CA 砂浆层间界面损伤开裂行为的合理性。将改进指数型内聚力模型与既有内聚力模型(双线性、指数型)进行对比，如图5 和图7 所示。由界面的拉力-位移曲线可以看出，改进指数型内聚力模型能较好地反映试验现象，具体对比结果如表1 所示。由表1 可知，由改进指数型内聚力模型计算的界面内聚强度与临界断裂能和文献[23]的计算结果比较接近，说明了改进指数型内聚力模型模拟轨道板与CA 砂浆界面开裂行为的合理性。
表1 几种内聚力模型拟合结果Table 1 Fitting results of several cohesive zone models
由试验数据可知，轨道板与CA 砂浆界面的拉力-位移关系具有非线性特征。描述拉力-位移非线性特征的模型主要有多项式和指数型模型，相比多项式内聚力模型，指数型内聚力模型在纯法向失效状态下可以准确保持法向拉力为0，所以指数型内聚力模型能更好地分析界面损伤。其次，指数型内聚力模型的拉力及其导数是连续函数，在应用和计算方面具有优势。本文模型是在指数型内聚力模型的基础上提出来的，因此，本文模型具有指数型模型的优点。
为说明改进指数型内聚力模型模拟轨道板与CA 砂浆界面离缝的适用性，将改进的指数型模型和目前所采用的双线性和指数型模型进行对比。参考文献[23]的无砟轨道层间粘结试验数据，分别采用双线性内聚力模型、指数型内聚力模型和本文所提模型进行拟合。具体拟合结果见图5及图7。
由图5(a)和图7(a)可知，在轨道板与CA 砂浆层界面法向开裂的过程中，改进的指数型内聚力模型可以更好地拟合上升段和下降段试验数据，尤其对下降段的试验结果拟合效果较双线性内聚力模型好。由表1 的拟合结果可知，本文所提模型计算的界面临界断裂能和文献[23]的试验结果比较接近，且小于双线性内聚力模型计算值。
因下降段数据点较少，本文将法向上升段和下降段预测结果绘于同一图中。采用不同内聚力模型对界面法向拉力进行预测，预测结果和试验数据对比如图8所示。
由图8 可知，改进指数型模型和双线性模型对文献[23]的界面法向开裂试验数据预测效果较好，而指数型模型对文献[23]的试验数据预测偏大。采用改进的指数型内聚力模型计算的决定系数R2为0.902，均方误差(Mean Square Error, MSE)为0.028，可以较好预测试验结果；由双线性内聚力模型计算的决定系数R2为0.89，均方误差MSE为0.031，可知由改进指数型内聚力模型计算的均方误差比双线性模型小，说明改进指数型模型对界面脱粘的模拟效果好于双线性模型。而采用指数型内聚力模型计算的决定系数R2为0.243，均方误差MSE 为0.214，模型预测值明显大于试验值，对试验结果预测性较差，这是由于指数型模型上升段和下降段的增加和衰减速率过快，且下降段试验数据较少，从而使多数预测值大于试验值。通过综合考虑试验结果预测的准确性和法向试验数据下降段的非线性，改进的指数型模型对试验结果的预测效果要好于双线性模型和指数型模型，采用改进的指数型模型可以较为合理地模拟轨道板与CA 砂浆层间界面的法向拉力-位移关系。
图8 法向预测结果和试验数据对比Fig. 8 Comparison between normal prediction results and experimental data
由图5(b)和图7(b)可知，对于轨道板与CA砂浆层间界面切向试验结果，改进的指数型内聚力模型和双线性内聚力模型均能较好拟合试验数据。而改进指数型模型可以更好地表征界面切向损伤过程中拉力-位移关系的非线性。通过表1 的拟合结果可知，本文所提模型计算的界面临界断裂能和文献[23]的试验计算值比较接近。
采用不同内聚力模型对界面切向拉力进行预测，预测结果和试验数据对比如图9 所示。
图9 切向预测结果和试验数据对比Fig. 9 Comparison between tangential prediction results and experimental data
为准确评估模型预测效果，本文将切向上升段和下降段预测结果分开考虑。由图9 可知，改进指数型模型和双线性模型对文献[23]的界面切向开裂试验数据预测效果较好，而指数型模型对文献[23]的上升段试验数据预测偏大，对下降段试验数据预测偏小。采用改进的指数型内聚力模型计算上升段和下降段的决定系数R2分别为0.903和0.93，均方误差MSE 分别为0.008 和0.006，可以比较好地预测试验结果。由双线性内聚力模型计算上升段和下降段的决定系数R2分别为0.883和0.896，均方误差MSE 分别为0.009 和0.008，说明在模拟轨道板与CA 砂浆层间界面切向开裂行为时，改进指数型模型对试验结果的预测效果要好于双线性内聚力模型。而采用指数型内聚力模型计算上升段和下降段的决定系数R2分别为-0.08和0.082，均方误差MSE 分别为0.085 和0.073，模型预测值和试验值的误差较大，对试验结果预测性较差。综上，改进的指数型模型对试验结果的预测效果要好于双线性模型和指数型模型，且可以较好地表征界面切向拉力-位移曲线的非线性特性。
本文基于内聚力本构理论和试验数据，分别采用双线性和指数型内聚力模型对CRTS Ⅱ 型轨道板与CA 砂浆层间离缝进行预测，分析了双线性和指数型内聚力模型的适用性。在此基础上，提出了改进的指数型内聚力模型，并确定了改进指数型内聚力模型的主要参数。最后，采用不同内聚力模型对轨道板与CA 砂浆层间离缝进行预测分析。得到以下结论：
(1) 双线性内聚力模型上升段和下降段均为线性，极值点导数不连续；指数型内聚力模型上升段和下降段非线性特征难以控制。而提出的改进指数型内聚力模型则改善了既有模型的不足。
(2) 改进指数型内聚力模型采用分段函数，通过引入指数系数改善了模型的非线性特征。可以高效进行轨道板-CA 砂浆界面内聚强度、损伤萌生时界面相对位移和界面临界断裂能的计算，分析结果与试验值基本一致。
(3) 改进指数型模型能准确描述轨道板与CA 砂浆界面开裂行为，预测精度高于双线性和指数型内聚力模型。改进指数型内聚力模型可更好地表征轨道板与CA 砂浆层间界面法向和切向开裂行为。