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1、第7章 轴 向 拉 伸 和 压 缩7.1 7.1 拉伸和紧缩拉伸和紧缩7.27.2拉拉压压杆横截面上的内力杆横截面上的内力7.37.3轴力图轴力图7.4 7.4 轴向拉伸与紧缩时的应力轴向拉伸与紧缩时的应力7.5 7.5 拉拉压压杆斜截面上的应力杆斜截面上的应力7.6 7.6 轴向拉伸轴向拉伸紧缩紧缩时的弹性变形、变形能时的弹性变形、变形能7.7 7.7 资料拉伸时的力学性能资料拉伸时的力学性能7.8 7.8 资料紧缩时的力学性质资料紧缩时的力学性质7.9 7.9 拉伸拉伸紧缩紧缩杆件的强度计算杆件的强度计算 7.10 7.10 应力集中应力集中7.11 7.11 拉压超静定问题拉压超静定问题
2、1 拉伸和紧缩轴向拉伸，对应的外力称为拉力。PP轴向紧缩，对应的外力称为压力。PP2 拉压杆横截面上的内力 以图示为例 ，用截面法确定杆件横截面 mm上的内力。用假想平面将杆件沿横截面 mm 截开根据平衡，如图 mmNmmNPP 杆件左右两段在横截面 mm 上相互作用的内力，是一个分布力系。 NmmPmmPN 设其合力为有平衡条件，可得 (2-1) N与轴线重合，称为轴力。0X NP普通规定：拉伸时的轴力为正，紧普通规定：拉伸时的轴力为正，紧缩时的轴力为负。缩时的轴力为负。N3轴力图X坐标 表示杆件横截面的位置，平行于杆轴。 N坐标 表示轴力的大小，垂直于杆轴。NPx 按选定的比例绘出表示轴力
3、与截面位置关系的图线 称为轴力图轴力图的意义：反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供根据。轴力的正号使微元区段有伸长趋势的轴力正。轴力的负号例：杆件受力如图a所示，试绘制轴力图。(b)解：1计算各段杆的轴力 AB段：轴力假设为拉力，用 表示ABN0ABPNABNP 得 (负号阐明为压力)(a)P2PBCDABNPA0BCNPP22CDNPPPP 同理：求得BC、CD、段的轴力分别为：PP2PABCDPPABPP2PABC(a)(d)(c)BCNCDN 2 轴力图如图e所示。NxP(e)2P在轴力图中，突变值=集中载荷PP2P
4、ABCD 例2-1 等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。3P1P2PABCD(a)1m2m1.5m3PR1P2PABCDIIIIIIIIIIII(b)解 1求支座反力 设支反力为R如b图 根据整个杆的平衡条件 求得1230RPPP123RPPP120906090kN 例2-1 等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。AIIR1N(c) 2计算各段杆的轴力 AB段：用假想平面在AB段内将杆截开，取左段为研讨对象图c，截面上的轴力假设为拉力，用N1表示。由平衡条件IIIIIIIIII
5、3P1P2P10NR190NRkN 例2-1 等截面直杆受力如图a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，试绘制该杆的轴力图。AII(c)IIIIIIIIII3P1P2P 同理求得 :BC段图d、 CD段图e的轴力：2190 12030NRPkN1PABIIIIR2NN3P3IIIIII3360NP(e)(d)3绘制轴力图轴力图如图f所示。从轴力图可见，AB段内的轴力值最大，Nmax=N1=120kN。轴力是内力，它与外力有关，但又不同于外力。3P1P2PABCD(a)N/kNx(f)6090304 轴向拉伸与紧缩时的应力轴向拉伸与紧缩时的应力一一. 正应力公式：正应力公式：
6、ANdA仅由上述静力关系式还不能确定和N之间的详细关系。下面从研讨杆件的变形入手来寻求的变化规律。如左图：变形后可察看到如下景象： 变形前变形后1杆件被拉长。但各横向线仍坚持为直线，恣意两相邻横向线相对地沿轴线平行挪动了一段间隔；2变形后，横线仍垂直于轴线。改动弯曲由以上的察看可得，杆件变形的平截面假设拉压 杆件的横截面在杆件的横截面在拉压、改动或弯曲变拉压、改动或弯曲变形过程中一直坚持是形过程中一直坚持是平面，并一直坚持与平面，并一直坚持与轴线垂直。轴线垂直。根据平面假设和资料均匀、延续的性质，可知：横截面各点处的分布内力集度即正应力均相等，于是有因此拉压杆横截面上的正应力为ANdAANA的
7、符号规定与的符号规定与N一样，拉应力为正，一样，拉应力为正，压应力为负。压应力为负。上述正应力公式的推导过程用到了变形几何，物理和静力平衡三方面的规律。 资料力学的分析方法1. 力学分析力学分析 研讨构件中的各个力学要素包括外力和内力；包括力和力偶矩之间的关系。2. 物理分析物理分析 研讨资料的力学性能，研讨构件的力学要素有时还包括热学要素与几何要素之间的关系。 荷载与变形量之间的关系 温度变化与应力、变形量之间的关系 构件内部应力与应变之间的关系3.几何分析几何分析研讨构件和构造中各几何要素之间的关系。构件中应变和变形量之间的关系构造中各构件变形量之间的关系二. 正应力公式的运用条件1. 外
8、力合力作用线必需与杆轴线重合。 2. 杆件必需是等直杆。假设横截面尺寸沿轴线变化，对于变化缓慢的杆：( )( )( )N xxA x2-4 3. 公式只在距外力作用点一定间隔外才是正确 的。PP/2P/2P/AP 圣维南原理 虽然力作用于杆端的方式不同，只需它们是静力等效的，那么杆件中应力分布仅在作用点附近不大的范围内(不大于杆的横向尺寸)有明显影响。 应力等效应力等效PP/2P/2P/AP例2-2 图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。假设载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。0:X 0:Y sin30ABoPNACBP30解1计算
9、各杆轴力 用截面法，截取结点B为研讨对象，各杆轴力假定为拉力。由平衡方程 得30BPABNBCNcos300oABBCNNsin300oABNP30KN例2-2 图所示铰接支架，AB为圆截面杆，直径为d=16mm，BC为正方形截面杆，边长为a=14mm。假设载荷P=15kN，试计算各杆横截面上的应力。ACBP302计算各杆应力，得30BPABNBCNABABABNABCBCBCNA3622630 10149 10/14916104N mMPa3622626 10133 10/1331410N mMPa5 拉压杆斜截面上的应力沿斜截面kk如图，将杆截分为二。研讨左段杆的平衡，得到斜截面kk上内力
10、 pp(a)(b)kkppkkPPa a 斜截面kk的面积为 ， 横截面积为A， 于是有 cosAAPpA0PA0App(a)(b)kkppkk式中 为横截面 上的正应力。bcoscosPPAA0cosA斜截面全应力 的分解：垂直于斜截面的正应力 ： 2-5相切于斜截面的剪应力 ： pcospsinp 可见，斜截面上不仅存在正应力，而且还存在剪应力，其大小随截面的方位而变化。Pa 20cos0sin222-6x 、 、 的符号规定如下x000000 1.当 时横截面 0o0max00即横截面上的正应力是一切各截面上正应力的最大值。0sinsin22p20coscospp2-52-6 3.当 时
11、 当 时 即在斜截面上，剪应力有最大、最小值，且其数值为最大正应力的一半。0sinsin22p20coscospp2-52-645o0452045max245o 0452045min2 一、纵向变形虎克定律 一等直杆如下图，设杆的原长为 ，横截面面积为A。在轴向拉力P作用下，杆的长度由 变为 。1b1ll6轴向拉伸紧缩时的弹性变形、变形能l1llbpp轴线方向总伸长为 (a)1lll 1b1llbpp 实验阐明： 引入比例系数E，那么有 b 对于仅在两端受轴向外力作用的等直杆，由于N=P，故式b可改写为PllA PllEA NllEA 杆件拉伸时， 为正；杆件紧缩时， 为负。ll2-7式2-7
12、就是轴向拉伸与紧缩时等直杆轴向变形的计算公式，通常称为虎克定律。E 与资料的性质有关，称为资料的拉压弹性模量，其值可由实验确定。EA 反映了杆件抵抗拉伸紧缩变形的才干，称为杆件的抗拉压刚度。NllEA 2-71b1llbpp假设将 和 代入公式2-7可得 或 2-8这是虎克定律的另一种表示方式。虎克定律又可表述为：当应力不超越某一极限值时，应力与应变成正比。由于应变没有量纲，弹性模量E有与应力一样的量纲。最后指出，公式2-7只需当轴力N、横截面面积A、资料的弹性模量E在杆长l内为常量时才干运用。NAllEENllEA 2-7对于阶梯杆或轴力分段变化的杆件： 当轴力 和横截面积 沿杆轴线x方向延
13、续变化时，有 二、横向变形泊松比 设杆件变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，那么杆的横向线应变为 iiiN llE A()()lNx dxlE A x N x A x1bbbbb2-92-92-102-10 实验阐明：横向应变与纵向应变之间满足如下关系 因与的符号相反，故有 称为泊松比或横向变形系数，是一个无量纲的量，其值随资料的不同而不同。E 、 都是资料本身所固有的弹性常数，是反映资料弹性变形才干的参数。2-112-12例1 阶梯钢杆如下图。知AC段的截面面积为A1=500mm2，CD段的截面面积为A2=200mm2，钢杆的弹性模量E=200GPa。试求：1各段杆横截面上的内力和应力；2杆
14、的总伸长。BACD1P= 30KN2P=10KN1001001002P1P1122R解 1内力计算2P1P1N2P2N 用截面法沿11、22面截开，计算轴力, 得：2210BCCDNNNPkN 11230 1020ABNNPPkN绘出轴力图。2010_xN(KN)BACD2应力计算3杆的总伸长 计算结果为负，阐明整个杆是缩短的。11ABNA21BCNA22CDNA31i iADiiNllEA36620 1040 1040500 10PaMPa36610 1020 1020500 10PaMPa36610 1050 1050200 10PaMPa3333336666120 10 100 1010
15、 10 100 1010 10 100 10()200 10500 10500 10200 1030.015 100.015mmm例2 尺寸为=的钢板如下图，其资料的弹性模量E=200GPa，泊松比。求钢板在两端遭到合力为140kN的均布载荷作用时厚度的变化。2501050140KN140KN2501050140KN140KN解 在两端的均布载荷作用下，钢板发生轴向拉伸变形。其横截面上正应力可按公式2-1计算，即 a由虎克定律 b PAE2501050140KN140KN横向线应变为于是 cbbbb 2501050140KN140KN将式b代入式c，并思索式a，得 即钢板的厚度减小了0.003
16、5mm。 PbbEA 33140 100.25100.0035200 1050 10mm 三、轴向拉压时的变形能在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，成为变形能或应变能。弹性体变形储存能量外力做功外力减小变形减小释放能量如图，受轴向拉伸的直杆，下端受从零开场逐渐添加的拉力作用，直至最终数值P。作用点的位移也逐渐增大至 ,在应力小于比例极限的范围内，拉力P与 成正比。llpp(a)(b)lp1p1dp1ll1d lll 显然 dW 等于图中画阴影线部分的微分面积。W 等于 图中三角形的面积: 11dWP dl（）Pl12WP l假设不计任何能量损耗，根据功能原理，弹性体内储存的变形能U应等于拉
17、力P所做的功W。即 思索轴力，并引出虎克定律，得 12UWP l22NlUE A2-132-14变形能的单位为焦J引入单位体积内的变形能的概念，我们称为变形比能简称比能，记作u。由虎克定律，上式又可写成 比能的单位是2-15UuAl12u33焦耳 米（J m ）1焦耳（J）=1牛 米（N m）2-162P lAl1222E22E7 资料拉伸时的力学性能资料的力学性能 资料在受力变形过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特性。1.实验条件：资料在室温下，以缓慢平稳加载方式进展的拉伸实验和紧缩实验2.实验对象：圆截面的拉伸规范试件如下图： pp27ldlpp2710ld5ldd 标矩。 圆试件的直径
18、 在国家规范中标矩，与直径d有两种比例： 即 和ld一、低碳钢拉伸时的力学性质低碳钢是指含碳量在0.25%以下的各种碳素钢。用它来阐明塑性资料的一些特性。以下图是低碳钢拉伸时绘制的曲线，这个曲线也称为拉伸图。efgpl0abcddhfPl1.在低碳钢的整个拉伸实验过程中，其曲线可以分为如下四个阶段： hgbd0apebcs一、弹性阶段二、屈服阶段三、强化阶段 四、部分变形阶段fed2.2.延伸率和截面收缩率延伸率和截面收缩率0100%ll延伸率是衡量资料塑性的主要目的。1延伸率：2-172截面收缩率 A1 试件断裂后断口处最小横截面面积， A0 试件原来的横截面面积 截面收缩率也是衡量资料塑性
19、的目的。1100%AAA2-18100100%lll3.卸载定律和冷作硬化 1 1 卸载定律卸载定律 ep超越弹性范围后的任一点d所对应的总应变包含弹性应变和塑性应变两部分。hgef0abcdpbsd 2 2冷作硬化冷作硬化 efhg0abcdpbs在常温下，把资料拉到塑性变形，然后卸载，当再次加载时，比例极限提高而塑性降低d工程上某些塑性资料没有明显的屈服阶段，通常规定塑性应变 时的应力为名义屈服极限，用 表示。0.2%0.20.2%p0.2二、其他塑性资料拉伸时的力学性能二、其他塑性资料拉伸时的力学性能灰口铸铁是典型的脆性资料断裂时的应力就是强度极限它是独一的强度目的。有时选一条割线来确定
20、E值，并以为资料服从虎克定律。三、铸铁拉伸时的力学性质12510075502500.15 0.30 0.452(MN/m )(%)8 资料紧缩时的力学性质资料紧缩时的力学性质一塑性资料黄色线 低碳钢紧缩时的曲线绿色线 低碳钢拉伸时的曲线Ps二脆性资料如图：铸铁紧缩时 的曲线。实验阐明：曲线没有“屈服点，试件在较小变形下忽然破坏，破坏面与轴线大致成45度的倾角。 pp600500(%)2MN/m 1100200300400423506三几种常用资料的主要力学性能比例极限弹性极限 屈服极限 强度极限 弹性模量 E延伸率 截面收缩率pes0.2b衡量资料力学性能的主要目的有： 资料允许接受的最大应力
21、。 破坏应力资料破坏时的应力值， 或称极限应力 0 0nn 为大于1的数，称为平安系数。(2-19)0s0b塑性资料脆性资料9 拉伸紧缩杆件的强度计算一、许用应力与平安系数二、强度条件 对等截面杆 式2-20a，b即是轴向拉压杆件的强度条件。产生最大任务应力的截面称为危险截面。maxmax NAmaxmax NA(2-20a)2-20b利用强度条件，可以处理工程中以下三个方面的强度计算问题：1.强度校核2.设计截面由上式算出需求的横截面面积，然后确定截面尺寸。max NA3.确定许用载荷 NA例简单构造受力如图，q是均布在程度长度上的载荷集度，设AC为刚性杆，BD杆为圆截面，。计算BD杆的直径
22、以及C点的铅垂位移。 150MPa200EGPaq=17.3kN/m1m1m1mABDC30P=20kN解设BD 杆的拉力为N，由平衡条件得再由强度条件得0AM1 17.3 2 1 20 20N 74.6NKN 342674.6 104.97 10150 10NAm4244 4.97 102.52 10Admq=17.3kN/m1m1m1mABDC30可取d=26mm(2)计算C点的铅垂位移。刚性杆AC转到新位置AC1，D点移到D1。在小变形时，用作垂线替代作弧，可知CC就是C的铅垂位移，可得BD杆的伸长再由几何关系21D D21D Dl 211cos30D DDD112CCDD31cos30
23、CCCCABDCD2 D1C1C2C330NlEA39474.6 101200 104.97 1047.5 100.75mmm于是讨论：对于此题，如规定C点的铅垂位移不超越，即要求整个构造具有一定的刚度。这时，可先算出C点的铅垂位移，再和允许位移进展比较，如能满足，刚度是足够的，我们称此条件为刚度条件。对于某些构造或系统，如桁架，汽阀机械等要思索刚度条件，即要求某些点的位移不能过大。对于大多数接受拉压的工程构件，往往只需求强度足够，而不用讨论它的刚度312cos30CCDD 212D D2 0.751.5mm 例3 等圆截面直杆受力如下图，资料为铸铁，其拉伸许用应力 ，紧缩许用应力 ，弹性模量
26、力 ，板宽b=80mm，板厚t=12mm。假设各铆钉的资料和直径均一样，且铆钉孔直径d=16mm。试校核板的强度。PP(a) 160MPadP(b)P解 1分析内力，做出上主板的轴力图。 2确定危险截面。 得出2-3段和1-2段都是危险截面。1-2段 3max110 10143 (80 16) 12MPa2-3段 由于板的各段都满足强度要求，故此主板平安。3max3110 104143 (80 16 2) 12MPa2345P321(c)454p4p4p4p123PSx(d)4p34p1例5 薄壁圆筒容器接受内压p作用，如图a所示。假设知圆筒直径为D，壁厚为t，试求其横截面上的应力及纵截面上的
27、应力。mnABCDmnl(a)nnDtt24DPp(b)lmnnmp(c) pyttDNNjdj(d)解 由于圆筒接受内压，故其横截面和纵截面上的应力都是拉应力。求：横截面上的应力 。平衡方程： 得P是沿圆筒轴线作用于筒低的总压力，其值为 x0X 0NP24DPpnnDttP(a)(b)N是圆筒横截面上的轴力， 由于薄壁圆筒横截面面积为 ，故轴力为 而(a)、(b)式为 (a) (b)将式b、(c)代入式a，得0NP24DPpxNdt4xpDtAdt(c)nnDttP2求纵截面上的应力取上半圆环为研讨对象，其受力图如图c、d所示。由平衡方程 得由此求得 即薄壁圆筒受内压作用时，周向应力 为轴向
28、应力 的两倍。y0Y 02sin2yDtspsdj j 2ypDtyxlmnnmp(c) pyttDNNjdj(d)pDs10 应力集中应力集中应力集中 在构件截面忽然改动的部分区域内，应力急剧添加，而分开这个区域稍远处，应力又趋于缓和。PPP(a)PPP(b)max0应力集中系数 : max 发生应力集中的截面上的最大应力0 截面上的平均应力AApp(a)p(b)Amaxmax 比较均质的脆性资料 灰口铸铁这类非均质的脆性资料 在静载下，不同资料对应力集中的敏感程度是不同的(d)SSAAp(c)SSAp11 拉压超静定问题拉压超静定问题一、超静定的概念作用于研讨对象上的未知力数多于静力平衡方
29、程的数目，就不能单凭静力平衡方程求出未知力，这种问题称为超静定问题或静不定问题。未知力多于静力平衡方程的数目称为超静定次数。ABCDQQ1N2N3NB123二、超静定问题的解法以图为例，阐明超静定问题的解法。两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。1平衡方程： A、B 两端的约束反力ARBRPPACBDlll(a)PP(b)0ABRPPRABRRABRR、(a)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。2变形协调方程：3经过物理关系将变形用未知力表
30、示0ACCDDBlllACACN llEACDCDNllEA(b)AR lEA()ARP lEAACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。0ACCDDBlllACACN llEACDCDNllEADBDBN llEA带入(b)式得：()0AABR lRP lR lEAEAEA(b)AR lEA()ARP lEABR lEAACBDlllPPPPARBR(a)(b)两端固定的杆，在C、D两截面有一对力P作用，杆横截面积为A，弹性模量为E，现计算杆内最大应力。2ABRRP整理后得：(c) c式称为补充方程
31、ABRR0ACCDDBlll(b)(a)联立a、c求解得3ABPRRACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段内力：可见CD段内力最大，故3ACPNmaxmaxNACDNA23PA 2,3CDNP ,3DBPN求解超静定问题的普通步骤归纳为： 平衡方程； 几何方程变形协调方程； 物理方程胡克定律； 补充方程：由几何方程和物理方程得； 解由平衡方程和补充方程组成的方程组。例2-3 由三根杆组成的构造，如以下图所示。假设1、2杆的抗拉刚度同为 ，3杆的抗拉刚度为 ，在P力作用下，试求三杆的内力。11E A33E A ABCD123ElP 解：1静力平衡关系 设三杆轴力皆为拉力，有节点A的平衡条件 2变形几何关系 在中有以下变形谐调条件 0:Y 1AEA13cosll ABCD123E1AP3ll1(a)A2N1N3NP(b)132cosNNPba ABCD123E1AP3ll1(a)A2N1N3NP(b)3物理关系 根据虎克定律代入b式得补充方程 4联立求解式a、c得 1111cosN llE A 3333N llE A131133coscosN lN lE AE A1332112coscosPNE AE A31133312cosPNE AE A132cosNNPacd例.4 支架中三根杆件的资料一样，横截面面积分别为 ，试求各杆内的
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