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1、例：一变截面(jimin)直杆受力如图，试画该杆的内力图。ABCD20kN30kN50kNlll112233FA解：杆件受轴载作用, A 处反力 FA也为轴向外力(wil),故内力为轴力,内力图即轴力图kNFFAx403020500kNFkNFkNForkNFFNNNAN2010302040302050403211求支反力求内力(nil)画内力图（轴力图）D20kNFN3CD20kN30kNFN2BCD20kN30kN50kNFN1AFN1FA20kN10kN40kN+-+校核B+-FN+FN-FB=50kN5040100BNNxFFFF第1页/共39页第一页，共40页。Fd1d2l)(xp例
2、：图示重量为P 的变截面圆杆的质量密度为，顶端受轴向外载 F，考虑自重(zzhng)的影响，试画该杆的内力图。dF)(xFNx解：自重是均匀分布的体积(tj)力，在本问题中其合力作用线与轴线重合是轴载。F)(xFN-F+PP杆件受力计算中分布(fnb)外力用沿轴线的分布(fnb)集度描述)()(4)()(24)()()() 0(2121221212121xpxldddgxlddxlddddgdxxdFPFlFFFNNN3)()(4)(0)(4)(3221221212121210 xlddxldddxdgFxFdldddgFxFFNxNx叠加原理适用21212)(44.)()().(.)(ldd
3、ddAgAddAgddVgddFp若d1=d2 =d 则有 为常量42dAplPdxdFxlPFxFlPgApNN)(FF+P-第2页/共39页第二页，共40页。 拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约定使杆件受拉的轴力为正。 轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。 轴力图要画在与受力图对应的位置。 集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小与集中力的大小相等。 轴力对截面位置坐标(zubio)的一阶导数的大小等于外载分布集度的大小。 小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用引起的内力等于各个力单独作用引起
4、的内力叠加结果。NF)(xFNANANAFFF)()(xpdxxdFN拉压杆的内力(nil)第3页/共39页第三页，共40页。2.2拉压杆的应力拉压杆的应力(yngl)FFFFN一、平面(pngmin)假设 横截面上的应力几何分析：根据实验观测，假设变形后横截面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平面假设。这样，横截面上各处( ch)法向线应变相同，切应变为零。即变形是均匀的。物性分析：内力与变形有确定的关系，对于连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上的内力为均匀分布的法向内力。即为常量为零。静力学分析：AFAdAdAFNAAN拉应力为正压应力为负拉压杆横截面上正应力计算公式x)()()(xAx
5、FxN变截面杆或分布轴载作用下横截面正应力计算公式适用于轴载作用的杆件。FF第4页/共39页第四页，共40页。2.2 拉压杆的应力拉压杆的应力(yngl)FF二、斜截面(jimin)上的应力讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应变相同，即变形是均匀的。因此(ync)内力均匀分布。斜截面上的全应力可分解为正应力和切应力coscoscosAFAFpAAFApdApdApFAAFFmmxnmmFFpnmmtp2sin2sincossin2cos22coscos2ppA 横截面面积A 斜截面面积公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。一点处不同方位截面上应力的集合
7、应力公式计算要求的应力MPaMPa33. 4)302sin(10212sin215 . 730cos10cos302230即焊缝处的正应力为7.5MPa，切应力为4.33MPa。第6页/共39页第六页，共40页。)()()(xAxFxN 拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面上正应力为常量，切应力为零。对正应力规定拉应力为正，压应力为负。 两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切应力为正。 过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全貌，称一点处的应力状态(zhung
8、ti)。应力状态(zhungti)可用单元体表示。拉压杆内各点为单向应力状态(zhungti)。拉压杆的应力(yngl)2sin21cos2第7页/共39页第七页，共40页。2.3 拉压杆的变形拉压杆的变形(bin xng)一、拉压杆的轴向变形(bin xng)FFll1bb1lllll1轴向变形轴向线应变 拉为正dxlddxd)(实验表明，当 F 在一定(ydng)的范围时，有：EAFllAFlldxddxFNFNlFll /AF /EorEEAlFlNlNNEAdxFlEAdxFld)(胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量, 与应力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。 niiiNiniin
9、iliNilNEAlFlEAdxFEAdxFli111第8页/共39页第八页，共40页。2.3 拉压杆的变形拉压杆的变形(bin xng)二、拉压杆的横向(hn xin)变形FFll1bb1bbbbb1横向变形横向线应变实验表明，在胡克定律适用(shyng)的范围时，有：lFll /AF /or5 . 00即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为泊松比。弹性模量 E 和泊松比都是材料的弹性常数，由实验测得。第9页/共39页第九页，共40页。例：图示等截面直杆，横截面面积(min j)为A，弹性模量E，自重为W。杆的自由端受轴向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及
10、杆中截面C 的轴向位移。Fl/2l/2ABCx解：沿杆轴线(zhu xin)建立坐标，可得轴力方程)()(xllWFxFN杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,而杆内任一截面的轴向位移就是(jish)该截面到上端之间杆段的伸长量。EAxxllWEAFxxxllWFEAxEAxFlxxxNAx)2(d)(1d)()(200将 x=l 和 x=l/2 代入，得：EAlWFEAlWFCB2)43()21()(2)41(EAlWFlCBCBBCB、C 两截面的相对轴向位移为：位移是力的线性函数叠加原理适用第10页/共39页第十页，共40页。例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用
11、。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量(tn xn m lin) E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量(tn xn m lin)E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。FBCA45o21A2AA1AAA1A2AA4A545ol1l2解：取节点A为研究(ynji)对象，计算各杆的轴力FAFN1FN 2kNFFFFFNNy14.142045cos11(拉伸(l shn)kNFFFNx1002(压缩)节点 A 变形后的新位置 AmmmmAElFlAAN707. 01007. 710100
12、1020011014.144693111111mmmAElFlAAN404. 010250107045cos11010693222222小变形在小变形下，可用切线代替弧线，则A 可视为A的新位置由几何关系，可求得：)(404. 145tan45sin)(404. 02154422mmllAAAAmmlAAAyAx第11页/共39页第十一页，共40页。FBCA45o21A2A1A解：采用解析方法求节点(ji din)位移kNFkNFNN1014.1421mmAElFlmmAElFlNN404. 0707. 02222211111iAyiAxilsincos在小变形(bin xng)下，节点位移与
13、杆件变形(bin xng)的关系)1800(tansin)90(tancosorlliiAxiiAyiiAyiiAxxAiAiAiAxliyAAyiiiiiAAAAAAlAAsinsincoscos)cos(则有：例： 图示桁架(hngji)，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。)180()0()90(iiAxiiAxiiAylll第12页/共39页第十二页，共40页。F
14、BCA45o21A2A1A)(404. 1)45tan45sin()45tan()45sin(45)(404. 002121122mmllllmmlAyAx)1800(tansin)90(tancosorlliiAxiiAyiiAyiiAxxAiAiAiAxliyAAy代入各杆参数(cnsh)：解：采用(ciyng)解析方法求节点位移例： 图示桁架(hngji)，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN
15、。试求节点的水平和铅直位移。)180()0()90(iiAxiiAxiiAylll第13页/共39页第十三页，共40页。 拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。 除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的关系，即泊松效应。 杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得到简化。 小变形线弹性下，叠加原理(yunl)适用于变形计算。即多个力同时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加结果。拉压杆的变形(bin xng)第14页/共39页第十四页，共40页。应力-应变(yngbin)图 -曲线ll /F/A2.4
16、材料在拉伸材料在拉伸(l shn)和压缩时的力学性能和压缩时的力学性能一、低碳钢在拉伸(l shn)时的力学性能弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失线弹性阶段 OA非线性弹性阶段 ADpe屈服阶段 产生残余变形，应力基本不变而变形继续增加。强化阶段 要使变形增加，需要加大应力。颈缩阶段ldDACBGHOFlpesbeepAA1l1pE比例极限e弹性极限s屈服极限b强度极限%100%10011AAAlll伸长率(延伸率)断面收缩率ee冷作硬化拉伸图强度指标：屈服极限强度极限塑性指标：伸长率断面收缩率称为塑性材料，sb%5称为脆性材料。%5第15页/共39页第十五页，共40页。2.4 材料材料(ci
17、lio)在拉伸和压缩时的力学性能在拉伸和压缩时的力学性能二、其他(qt)材料在拉伸时的力学性能塑性材料2 . 0p名义屈服极限或屈服强度ll /F/AO2 . 0p%2 . 0p脆性(cuxng)材料b直到拉断也没有明显的残余变形，断口为横截面。第16页/共39页第十六页，共40页。2.4 材料在拉伸材料在拉伸(l shn)和压缩时的力学性能和压缩时的力学性能三、材料(cilio)在压缩时的力学性能塑性材料屈服之前与拉伸(l shn)基本相同，测不到强度极限脆性材料压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限ll /F/AOOll /F/A压缩试件第17页/共39页第十七页，共40页。2.5 拉压杆
18、的强度拉压杆的强度(qingd)计算计算一、许用应力(yngl)busuor失效条件：u工作应力达到材料的极限应力许用应力：给定的材料制成的构件中工作(gngzu)应力的最大容许值，称为该材料的 许用应力nun为大于1的系数，称安全系数二、强度条件maxmaxmaxAFNmaxmaxAFN第18页/共39页第十八页，共40页。2.5拉压杆的强度拉压杆的强度(qingd)计算计算三、强度(qingd)计算1.强度(qingd)校核：给定构件形式、材料、尺寸和载荷工况，校核构件是否满足强度(qingd)条件。3.确定许用载荷：已知构件形式、材料及尺寸，确定在给定作用方式下载荷的最大许用值。2.确定
19、截面尺寸：给定构件形式、材料和载荷工况，确定构件所需的最小截面尺寸。)(minminminmaxAfdAFAdN)(maxmaxNFNNFfFFFAF如果最大工作应力超过了许用应力，但超过量在5%以内，在工程设计中仍然是允许的。max第19页/共39页第十九页，共40页。2.5 拉压杆的强度拉压杆的强度(qingd)计算计算四、应力集中对强度(qingd)计算的影响应力集中现象：截面(jimin)发生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。AFKNmaxK 称为应力集中因子(系数) 1对于塑性材料制成的构件，静载作用下强度计算可以不考虑应力集中的影响。Kmax对于脆性材料制成的构件，强度计
20、算则必须考虑应力集中的影响。但铸铁材料例外。maxmaxsb第20页/共39页第二十页，共40页。例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且 l =2r。工作压力 F=3274kN，连杆 AB 横截面(jimin)为矩形，高与宽之比 h/b =1.4，材料为45号钢，许用应力=90MPa。试设计截面(jimin)尺寸h和b。 F解：连杆 AB 为二力杆，工作(gngzu)中受轴载作用ABrlbhBFFNFB计算(j sun) AB 杆的轴力：cosFFNkNkNlrlFFN3780332742/22max当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大(受压)确定连杆截面尺寸：4 . 1max2maxNNFbbh
21、FAmmbh2424 . 1mmmmb173)(904 . 11037803max第21页/共39页第二十一页，共40页。例：图示三角托架(tu ji)。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根6.3（边厚为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应力t=160MPa，许用压应力c=90MPa ，试确定许用载荷 F 。 21FBCA30o1m解：求各杆内力与载荷(zi h) F 的关系FA30oFN1FN2xyFFFFFFNNy230sin030sin11FFFFFNNNx3030cos212根据强度条件(tiojin)确定许用载荷22222128601
22、43026 .14578 .7282mmmmAmmmmAkNNAFAFAFttN6 .11621606 .1457221111AC杆：AB杆：kNNAFAFAFccN6 .1483902860332222kNkNkNF6 .116)6 .148,6 .116min(许用载荷(拉)(压)查表得：第22页/共39页第二十二页，共40页。2.6拉压超静定问题拉压超静定问题ABCFFAFB未知力可由平衡方程完全确定的问题称为(chn wi)静定问题。未知力的数目超过独立平衡方程的数目，仅用平衡方程不能确定所有的未知力，称为(chn wi)超静定问题。而超出的未知力数目，称为(chn wi)超静定次数。
23、超静定结构都存在多于维持平衡所必需(bx)的约束或杆件，习惯上称为多余约束。多余约束的数目即为超静定次数。BAxFFFF0FA解除(jich)多余约束，代之以相应反力，可得到含有未知外力作用的静定结构,称为原超静定结构的静定基(基本静定系统)。ADCB12超静定系统受力变形必须满足平衡条件、物理关系及变形几何相容关系，综合三方面考虑，除平衡方程外还可建立足够数量的补充方程，从而能求解出全部未知力。0ABAxlBAFFF12llCyDy第23页/共39页第二十三页，共40页。一、外力作用(zuyng)下的超静定问题例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件EC 及FD 组成，在B端受力 F 作用(zu
24、yng)。两弹性杆的拉压刚度分别为E1A1 和E2A2 。试求杆EC 和 FD 的内力。 ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2CDAFHAFVABFN2FFN1解：一次超静定问题，取AB 杆为研究(ynji)对象FFFFllFlFMNNNNA32032302121变形几何相容(xin rn)条件(变形协调条件)：平衡条件：FDECllDDCC22221由胡克定律：2221112AEaFAEaFNN联立求解得：平衡方程补充方程FAEAEAEFFAEAEAEFNN221122222111114643结果表明，超静定结构中各杆件的内力与其刚度相关第24页/共39页第二十四页
25、，共40页。FAFBABCFlab解：杆件受共线(n xin)力系作用，为一次超静定。BAxFFFF0FAABCF取静定(jn dn)基，求出杆内轴力：BANCBANACFFFFFF)(根据原结构(jigu)的约束情况，有变形协调条件:)()(0)(0lFaFlFbFEAbFFEAaFEAbFEAaFEAdxFlBAAANCBNAClN即:求解得:Fb/lFa/l-+求C 处的位移(水平位移)：)(lEAFbaEAaFlNACACCx注意：Ax=l ，即变形变形协调条件可以用多余约束处的约束条件表示；所有未知力也都可用多余反力表示。从这一点入手，可以导出求解超静定问题的典型方法。CBACll变
26、形协调条件也可表示为一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移。第25页/共39页第二十五页，共40页。一、外力作用(wi l zu yn)下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移。FAFBABCFlab解：杆件受共线(n xin)力系作用，为一次超静定。X1ABCF取静定基，将与被解除的多余约束相应的反力(或内力分量(fn ling)作为基本未知量，且用 Xi 表示，相应位移记i。分别计算原有外力以及每个基本未知量相应的单位力单独作用时的支反力和杆内轴力，并画出相应的内力图：1110111oBoNCBoNACFBFNCBFNACF
27、FFFFFFF011111111FFX利用平衡条件:利用多余约束处的变形协调条件:+-FNF ：F0N ：F11可得到关于基本未知量的方程，且方程数目与基本未知量数目相同，这样的方程或方程组称为原超静定问题的基本方程。其中ij 是与Xj 相应的单位力对位移i 的影响，称为影响系数。), 1()0(1niXiiFnjjij第26页/共39页第二十六页，共40页。一、外力作用(wi l zu yn)下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C 处的位移。FAFBABCFlab解：一次超静定(jn dn)X1ABCF分别(fnbi)计算各影响系数和自由项1110111oBoNCBoNAC
28、FBFNCBFNACFFFFFFFF01111FXFb/lFa/l-+求C 处的位移(水平位移)：)(111EAlFablFbEAaXCxFCxCx代入方程求解得+-FNF ：F0N ：F1EAlEAlFEAFbEAbFoNFNCBF1111)()(11111lFbXFlFbXAF)(111lFaXFXFFFoBFBBlFaFlFbFXFFFNCBNACoNFNN111第27页/共39页第二十七页，共40页。二、热应力 初应力例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件1 及2 组成，两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量E = 210GPa，线膨胀系数(png zhng xsh)l
29、 =1.210-5 oC -1。试求当杆1的温度升高T=50 oC 时,杆1 和 2的正应力。 解：随着温度的改变，物体会发生膨胀(png zhng)或收缩，即温度变形，对超静定结构,这种温度变形会受到限制从而产生相应的应力,称为热应力(温度应力)。212130434NNNNCFFaFaFM变形协调条件(tiojin)及补充方程：平衡条件及平衡方程：)( 3)( 3)( 33122121NlNNNlTFTEAFEAlFEAlFTlllBBAA变形分析：一次超静定结构,假如没有杆2的限制,杆1由于温度升高可自由伸长到A1,而因杆2的限制,实际伸长到A。FN2CAFRBFN1ACBa / 43a
30、/ 41l2ABA1B1第28页/共39页第二十八页，共40页。二、热应力 初应力例：图示结构由刚性杆AB及两弹性(tnxng)杆件1 及2 组成，两弹性(tnxng)杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性(tnxng)模量E = 210GPa，线膨胀系数l =1.210-5 oC -1。试求当杆1的温度升高T=50 oC 时,杆1 和 2的正应力。 解：213NNFF)(312NlNFTEAFMPaPaAFMPaPaAFNN8 .371050102 . 11021034 .1131050102 . 110210959225911联立求解(qi ji)得：各杆内的热应力：1031092
31、1TEAFTEAFlNlNFN2CAFRBFN1ACBa / 43a / 41l2ABA1B1第29页/共39页第二十九页，共40页。二、热应力 初应力例：图示结构(jigu)由刚性杆AB及两弹性杆件1 及2 组成，两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同，已知材料的弹性模量E = 210GPa，线膨胀系数l =1.210-5 oC -1。试求当杆1的温度升高T=50 oC 时,杆1 和 2的正应力。 解：一次超静定问题，去掉多余杆件杆2 ，代之以未知内力X，得到原结构(jigu)的静定基。XFMNC301变形协调条件(tiojin)、基本方程：求静定基内力：以AB 杆为研究对象EAXlEAXlT
32、lEAXllEAlFllTllNXXBXlTTBT3333321112lBXBTBACBa / 43a / 41l2XCAFRBFN1BAC1X2XTBTl1XBXl2第30页/共39页第三十页，共40页。二、热应力 初应力例：图示结构由刚性杆AB及两弹性杆件1 及2 组成，两弹性杆的材料与横截面积 A 均相同(xin tn)，已知材料的弹性模量E = 210GPa，线膨胀系数l =1.210-5 oC -1。试求当杆1的温度升高T=50 oC 时,杆1 和 2的正应力。 解：EAXlEAXlTll333求解(qi ji)得：MPaAFMPaAFTEAXFTEAXFNNlNlN4 .1138
33、.371033103112212ACBa / 43a / 41l2XCAFRBFN1BAC1X2XTBTl1XBXl2B03330EAXlEAXlTllBBBB第31页/共39页第三十一页，共40页。而对超静定结构，各杆件的变形受到约束，一般(ybn)会产生附加内力，相应的应力称为装配应力或初应力 。3211221213132121211232)sin(sin0)sin(sin)sin(sin0)sin(sinNNNNNNNNFFFFFFFFFF二、热应力 初应力例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为E1A1 、 E 2A 2和E 3A 3 ，因制造误差，杆3 比其应有(yn yu)
34、的长度 l 短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：杆件制成后尺寸有微小误差是难免的。在静定结构中,这种误差只会使结构形状略为(l wi)改变，不会引起附加内力。平衡条件：A 点为研究对象AA1l2231FN1FN2FN3A第32页/共39页第三十二页，共40页。)sin(1sinsin)sin(sinsin)tan()sin(tansin211222221111333211221222111AElFAElFAElFllllNNNAxAxAxAyyx3211232121)sin(sin)sin(sinNNNNFFFF二、热应力(yngl) 初应力(yngl)例：图示结构由三根杆件组成，各杆的
35、拉压刚度分别为E1A1 、 E 2A 2和E 3A 3 ，因制造误差，杆3 比其应有的长度 l 短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：变形协调(xitio)条件：即：AA1l2231AAA0AFN1FN2FN3A3lxAAxxAxAA)(sin)sinsin)(sin(2122212211221332123AElAElAElFN第33页/共39页第三十三页，共40页。yx二、热应力 初应力例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别(fnbi)为E1A1 、 E 2A 2和E 3A 3 ，因制造误差，杆3 比其应有的长度 l 短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：求解(qi ji)得
36、：AA1l2231AAA0AFN1FN2FN3AlAEAEAEFN3321222212111222123)(sincossincossin)(sinlAEAEAEFlAEAEAEFNN33212222121112212123321222212111222211)(sincossincossinsin)sin()(sincossincossinsin)sin(（受拉）（受压）2211coscosllll第34页/共39页第三十四页，共40页。2.7 连接部分的强度连接部分的强度(qingd)计算计算工程中拉压杆与其他(qt)构件之间常用螺栓、销钉及铆钉等连接件相互连接。连接部分的受力变形是复杂的局部应力问题。工程中采用实用计算方法。FFFFR1=F/2FR2=F/2剪切变形(bin xng)剪切面FFb=FFb=F挤压dFb=FAbs=d计算挤压面积FsFR1一、剪切强度的实用计算剪切面上只有切向的内力分量，称为剪力，用FS 表示。剪力是截面上切应力的合成结果，实用计算中假定切应力均匀分布，则相应强度条件为：AnFnAFbsbsA为剪切面的面积,称为许用切应力二、挤压
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